Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kreisumfang und Kreisfläche berechnen
Umfang und Fläche eines Kreises hängen nur vom Radius ab. Du lernst beide Formeln, das Rückwärtsrechnen und wie Kreise wachsen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Den Kreisumfang berechnest du mit U = 2\pi r = \pi d, die Kreisfläche mit A = \pi r^2. Dabei ist r der Radius, d = 2r der Durchmesser und \pi \approx 3{,}14. Bei r = 9\,\mathrm{cm} ist U \approx 56{,}55\,\mathrm{cm} und A \approx 254{,}47\,\mathrm{cm}^2.
Den Kreisumfang berechnest du mit U=2\pi r=\pi d. Für die Kreisfläche gilt A=\pi r^2. Dabei ist r der Radius, d der Durchmesser und \pi\approx3{,}14. Auf dieser Seite lernst du, die passende Formel zu wählen, vorwärts und rückwärts zu rechnen und dein Ergebnis zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine runde Tischplatte vor: Für ein Band um ihre Kante brauchst du den Umfang. Für Folie auf ihrer Oberseite brauchst du den Flächeninhalt.
Definition
Radius und Durchmesser
Der Radius r ist die Strecke vom Mittelpunkt bis zum Kreisrand. Der Durchmesser d führt von einem Randpunkt durch den Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Randpunkt. Er ist doppelt so lang wie der Radius: d = 2r und r = \frac{d}{2}.
Definition
Umfang und Flächeninhalt
Der Umfang U ist die Länge des Kreisrandes. Er hat eine Längeneinheit wie \mathrm{cm}. Der Flächeninhalt A beschreibt die eingeschlossene Fläche. Er hat eine Flächeneinheit wie \mathrm{cm^2}.
Teste dich
Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich: \frac{U}{d} = \pi = 3{,}14159\ldots Daraus folgt U = \pi d und wegen d = 2r auch U = 2\pi r. Für die Fläche zerlegst du den Kreis gedanklich in viele schmale Sektoren und legst sie abwechselnd nebeneinander. Das ergibt fast ein Rechteck mit der Höhe r und der Länge \frac{U}{2} = \pi r, also A = \pi r^2. Rechne mit der \pi-Taste und runde erst das Endergebnis. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn für die Fläche zuerst.
Merke: Randlänge: U = 2\pi r = \pi d. Eingeschlossene Fläche: A = \pi r^2.
Beispiel: Umfang und Fläche für r = 9\,\mathrm{cm}
- 1U = 2\pi \cdot 9\,\mathrm{cm} = 18\pi\,\mathrm{cm} \approx 56{,}55\,\mathrm{cm}
- 2A = \pi \cdot (9\,\mathrm{cm})^2 = 81\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 254{,}47\,\mathrm{cm}^2
- 3Einheiten: Umfang in \mathrm{cm}, Fläche in \mathrm{cm}^2
Beispiel: Landeplatz mit d = 26\,\mathrm{m}
- 1Radius: r = 26\,\mathrm{m} : 2 = 13\,\mathrm{m}
- 2A = \pi \cdot (13\,\mathrm{m})^2 = 169\pi\,\mathrm{m}^2 \approx 530{,}93\,\mathrm{m}^2
Teste dich
Manchmal kennst du den Umfang oder die Fläche und suchst den Radius. Dann stellst du die Formel nach r um. Aus dem Umfang folgt r = \frac{U}{2\pi} und d = \frac{U}{\pi}. Aus dem Flächeninhalt folgt r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}. Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig. Weil ein Radius eine Länge ist, nimmst du die positive Wurzel.
Beispiel: Aus U = 50\,\mathrm{cm} auf r, d und A
- 1r = \frac{50\,\mathrm{cm}}{2\pi} \approx 7{,}96\,\mathrm{cm}
- 2d = 2r \approx 15{,}92\,\mathrm{cm}
- 3A = \pi \cdot \left(\frac{50}{2\pi}\right)^2\,\mathrm{cm}^2 \approx 198{,}94\,\mathrm{cm}^2
- 4Mit dem ungerundeten Radius weiterrechnen, erst am Ende runden
Teste dich
Wird der Radius mit einem Faktor n multipliziert, wächst der Umfang mit demselben Faktor: 2\pi(nr) = n \cdot 2\pi r. Die Fläche wächst dagegen mit dem Quadrat des Faktors: \pi(nr)^2 = n^2 \cdot \pi r^2.
Merke: Verdoppelst du den Radius, verdoppelt sich der Umfang, aber die Fläche vervierfacht sich. Verdreifachst du den Radius, wird der Umfang dreimal und die Fläche neunmal so groß.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kreisumfang und Kreisfläche
Größen
Radius r, Durchmesser d=2r
Umfang
U=2\pi r=\pi d, Längeneinheit
Fläche
A=\pi r^2, quadrierte Einheit
Rückwärts
durch 2\pi teilen oder Wurzel aus A/\pi ziehen
Prüfen
passende Formel, Einheit und Rundung kontrollieren
Wachstum
Umfang linear, Fläche quadratisch zum Radius
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Rundes Blumenbeet mit d = 4{,}6\,\mathrm{m}
- 1Radius: r = 4{,}6\,\mathrm{m} : 2 = 2{,}3\,\mathrm{m}
- 2Randsteine: U = \pi \cdot 4{,}6\,\mathrm{m} \approx 14{,}45\,\mathrm{m}
- 3Beetfläche: A = \pi \cdot (2{,}3\,\mathrm{m})^2 = 5{,}29\pi\,\mathrm{m}^2 \approx 16{,}62\,\mathrm{m}^2
- 4Die Einfassung ist etwa 14,45 m lang, das Beet etwa 16,62 m² groß.
Fehler finden
Fläche eines Tellers mit d = 16\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2In die Formel gehört der Radius, nicht der Durchmesser: r = 8\,\mathrm{cm}. Richtig ist A = \pi \cdot (8\,\mathrm{cm})^2 = 64\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 201{,}06\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Umfang ist eine . Für A = \pi r^2 wird der Radius . Verdoppelst du den Radius, wird die Fläche so groß.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback