Nullstellen berechnen: Methoden sicher wählen

An einer Nullstelle ist der Funktionswert genau null. Die Zahl x_0 heißt Nullstelle, der zugehörige Punkt N(x_0 \mid 0) heißt Nullpunkt. Verwechsle Wert und Punkt nicht: Die Nullstelle ist zum Beispiel x_0=3, der Nullpunkt N(3 \mid 0). Beim Berechnen gehst du immer gleich vor: Prüfe zuerst den Definitionsbereich, denn bei einem Bruch darf der Nenner nicht null werden. Setze dann f(x)=0. Vereinfache die Gleichung und erkenne ihre Form. Wähle ein passendes Lösungsverfahren. Setze zum Schluss jede Lösung in die ursprüngliche Funktion ein.

Die Form der Gleichung entscheidet über die Methode. Bereite eine unübersichtliche Gleichung zuerst vor: Bring alle Terme auf eine Seite, löse Klammern auf und fasse zusammen. Für eine lineare Funktion f(x)=mx+t mit m\ne0 gilt x_0=-\frac{t}{m}: Sie hat genau eine Nullstelle. Bei einer konstanten Funktion f(x)=c gibt es Sonderfälle: Für c\ne0 gibt es keine Nullstelle, für c=0 ist jede reelle Zahl eine. Enthält jeder Summand einen gemeinsamen Faktor, klammerst du ihn aus. Dann hilft der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Nach dem Nullsetzen hat eine quadratische Gleichung die Form ax^2+bx+c=0 mit a\ne0. Sie kann zwei, eine doppelte oder keine reelle Nullstelle haben. Prüfe zuerst, ob du ausklammern oder faktorisieren kannst. Sonst hilft die Mitternachtsformel (abc-Formel): x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} Die p-q-Formel x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} gilt für x^2+px+q=0. Steht vor x^2 nicht 1, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch a. Die Anzahl der Lösungen verrät die Diskriminante D=b^2-4ac bzw. der Radikand R=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q: Ist er positiv, gibt es zwei reelle Nullstellen, bei null eine doppelte, bei einem negativen Wert keine reelle Nullstelle.

Das Grundprinzip f(x)=0 bleibt gleich. Je nach Funktion brauchst du aber eine Zusatzbedingung oder eine andere Methode. Bei gebrochenrationalen Funktionen notierst du zuerst alle Werte, für die ein Nenner null wird. Sie gehören nicht zum Definitionsbereich und können keine Lösung sein. Die e-Funktion e^x hat keine Nullstelle, denn ihre Werte sind immer positiv. Verschobene Exponentialfunktionen können aber Nullstellen haben: Du isolierst den Exponentialterm und logarithmierst mit \ln. Ein Polynom dritten Grades hat höchstens drei reelle Nullstellen. Kennst du eine Nullstelle x_1, ist (x-x_1) ein Faktor. Mit der Polynomdivision senkst du den Grad. Einfache Zahlen auszuprobieren, garantiert aber nicht, dass du eine Nullstelle findest.