Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kreisausschnitt berechnen: Formeln und Beispiele
Ein Kreisausschnitt ist ein Tortenstück aus dem Kreis. Du berechnest Fläche und Bogen über den Winkelanteil und rechnest auch rückwärts.
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Kurz gesagt
Ein Kreisausschnitt (Kreissektor) ist die Teilfläche zwischen zwei Radien und dem Kreisbogen dazwischen. Seine Fläche ist der Winkelanteil der Kreisfläche: A_s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2. Bei r=6\,\mathrm{cm} und \alpha=180^\circ sind das 18\pi\,\mathrm{cm}^2.
Ein Kreisausschnitt ist der Teil einer Kreisfläche, der zu einem Mittelpunktswinkel gehört. Du berechnest Kreisbogen und Fläche als denselben Anteil von Umfang und Kreisfläche: \frac{\alpha}{360^\circ}.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine runde Pizza vor. Zwei Radien vom Mittelpunkt zum Rand und der Rand dazwischen begrenzen ein Stück. Dieses Stück ist ein Kreisausschnitt, auch Kreissektor genannt. Der Vollkreis hat 360^\circ. Deshalb beschreibt \frac{\alpha}{360^\circ} den Anteil des Kreisausschnitts am ganzen Kreis. Bei 90^\circ ist der Anteil \frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14; bei 180^\circ ist er \frac12.
Definition
Kreisausschnitt
Ein Kreisausschnitt ist eine Teilfläche eines Kreises. Er wird von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt. Bestimmt wird er durch den Radius r und den Mittelpunktswinkel \alpha.
Merke: Derselbe Winkelanteil gilt zweimal: für den Kreisbogen am Umfang und für den Kreisausschnitt an der Kreisfläche.
Teste dich
Der Kreisbogen b ist der gekrümmte Rand zwischen den beiden Radien. Der ganze Kreisumfang ist U=2\pi r=\pi d. Multipliziere ihn mit dem Winkelanteil: b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r Für die Fläche gehst du genauso vor. Die ganze Kreisfläche ist A=\pi r^2, also gilt A_s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2 A_s bezeichnet die Fläche des Kreisausschnitts. Wenn der Durchmesser gegeben ist, halbierst du ihn zuerst: r=\frac d2. Verwendest du den Winkel im Bogenmaß statt in Grad, gelten b=r\alpha und A_s=\frac12r^2\alpha. Setze einen Gradwert nie direkt in diese Formeln ein. Achte beim Taschenrechner auf DEG für Gradmaß und RAD für Bogenmaß.
Beispiel: Fläche bei \alpha=36^\circ und d=20\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r=\frac{20\,\mathrm{cm}}{2}=10\,\mathrm{cm}
- 2A_s=\frac{36^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot(10\,\mathrm{cm})^2
- 3A_s=10\pi\,\mathrm{cm}^2\approx31{,}4\,\mathrm{cm}^2
- 4Probe: Das ist ein Zehntel der ganzen Kreisfläche 100\pi\,\mathrm{cm}^2.
Merke: Prüfe die Einheit: Die Bogenlänge ist eine Länge wie \mathrm{cm}, die Fläche hat eine Quadrateinheit wie \mathrm{cm}^2.
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Auch bei einer Umkehraufgabe bleibt der Winkelanteil die Grundlage. Stelle zuerst die passende Formel nach der gesuchten Größe um. Aus der Bogenformel folgen: \alpha=\frac{360^\circ\,b}{2\pi r} r=\frac{360^\circ\,b}{2\pi\alpha} Aus der Flächenformel folgen: \alpha=\frac{360^\circ A_s}{\pi r^2} r=\sqrt{\frac{360^\circ A_s}{\pi\alpha}} Beim Radius nimmst du die positive Quadratwurzel, denn eine geometrische Länge ist nicht negativ. Für den Durchmesser verdoppelst du anschließend: d=2r. Kennst du Bogenlänge und Fläche, gilt für denselben Kreisausschnitt A_s=\frac12br. Daraus erhältst du r=\frac{2A_s}{b} und danach den Winkel mit \alpha=\frac{180^\circ b}{\pi r}.
Beispiel: Durchmesser aus A_s=10\,\mathrm{cm}^2 und \alpha=40^\circ
- 1r=\sqrt{\frac{360^\circ\cdot10\,\mathrm{cm}^2}{\pi\cdot40^\circ}}=\sqrt{\frac{90}{\pi}}\,\mathrm{cm}\approx5{,}35\,\mathrm{cm}
- 2d=2r\approx10{,}7\,\mathrm{cm}
- 3Probe: Einsetzen in die Flächenformel liefert wieder etwa 10\,\mathrm{cm}^2.
Beispiel: Radius und Winkel aus A_s=30\,\mathrm{cm}^2 und b=12\,\mathrm{cm}
- 1r=\frac{2\cdot30\,\mathrm{cm}^2}{12\,\mathrm{cm}}=5\,\mathrm{cm}
- 2\alpha=\frac{180^\circ\cdot12}{\pi\cdot5}=\frac{432^\circ}{\pi}\approx137{,}5^\circ
Teste dich
Die ähnlich klingenden Begriffe bezeichnen verschiedene Flächen. Ein Kreisausschnitt wird von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt. Ein Kreisabschnitt, auch Kreissegment, wird von einer Sehne und einem Kreisbogen begrenzt. Eine Sehne ist eine gerade Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie. Für denselben Kreisbogen erhältst du den zugehörigen Kreisabschnitt, indem du vom Kreisausschnitt das Dreieck zwischen den beiden Radien und der Sehne abziehst: A_{\text{Kreisabschnitt}}=A_{\text{Kreisausschnitt}}-A_{\text{Dreieck}}
| Fläche | Begrenzung |
|---|---|
| Kreisausschnitt (Kreissektor) | zwei Radien und ein Kreisbogen |
| Kreisabschnitt (Kreissegment) | eine Sehne und ein Kreisbogen |
Beispiel: Kreisabschnitt beim Viertelkreis mit r=4\,\mathrm{cm}
- 1Kreisausschnitt: \frac14\cdot\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2=4\pi\,\mathrm{cm}^2\approx12{,}57\,\mathrm{cm}^2
- 2Dreieck mit zwei Radien als Katheten: \frac12\cdot4\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=8\,\mathrm{cm}^2
- 3Kreisabschnitt: 12{,}57\,\mathrm{cm}^2-8\,\mathrm{cm}^2=4{,}57\,\mathrm{cm}^2
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Alles auf einen Blick
Kreisausschnitt
Festlegung
Radius r und Mittelpunktswinkel \alpha
Winkelanteil
\frac{\alpha}{360^\circ} des Vollkreises
Kreisbogen
b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r
Fläche
A_s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2
Umkehraufgaben
Formel umstellen, Einheit und Plausibilität prüfen
Abgrenzung
Ausschnitt mit zwei Radien, Abschnitt mit einer Sehne
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Tortenstück: Torte mit d=28\,\mathrm{cm}, 12 gleiche Stücke
- 1Zwölf gleiche Stücke teilen den Vollwinkel: \alpha=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ
- 2Radius: r=\frac{28\,\mathrm{cm}}{2}=14\,\mathrm{cm}
- 3Winkelanteil: \frac{30^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{12}
- 4Fläche: A_s=\frac{1}{12}\cdot\pi\cdot(14\,\mathrm{cm})^2=\frac{49\pi}{3}\,\mathrm{cm}^2\approx51{,}31\,\mathrm{cm}^2
- 5Rand außen am Stück: b=\frac{1}{12}\cdot2\pi\cdot14\,\mathrm{cm}=\frac{7\pi}{3}\,\mathrm{cm}\approx7{,}33\,\mathrm{cm}
Fehler finden
Fläche bei r=6\,\mathrm{cm} und \alpha=60^\circ In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Hier wurde der Umfang 2\pi r statt der Kreisfläche \pi r^2 verwendet, das ergibt die Bogenlänge. Richtig: A_s=\frac16\cdot36\pi\,\mathrm{cm}^2=6\pi\,\mathrm{cm}^2\approx18{,}85\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Kreisausschnitt wird von zwei und einem Kreisbogen begrenzt. Sein Anteil am Vollkreis ist . Für die Fläche multiplizierst du diesen Anteil mit .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback