Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Intervallschachtelung: Wurzeln genau annähern
Mit einer Intervallschachtelung grenzt du eine Zahl wie √2 immer enger ein. Du lernst das Verfahren und wie genau dein Näherungswert ist.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen, bei der jedes im vorherigen liegt und deren Längen gegen 0 gehen. Sie legt genau eine Zahl fest. So grenzt du Wurzeln ein: Aus 1{,}41^2\lt 2\lt 1{,}42^2 folgt \sqrt2\in[1{,}41;1{,}42].
Eine Intervallschachtelung hält eine gesuchte Zahl zwischen einer unteren und einer oberen Grenze fest. Du verkleinerst dieses Intervall Schritt für Schritt. Bleibt die Zahl immer eingeschlossen und gehen die Intervalllängen gegen null, legen die Intervalle genau eine reelle Zahl fest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein abgeschlossenes Intervall [a;b] enthält alle Zahlen von a bis b einschließlich der beiden Grenzen. Dabei ist a die untere und b die obere Grenze. Mehrere Intervalle sind geschachtelt, wenn jedes folgende vollständig im vorherigen liegt: [a_{n+1};b_{n+1}]\subseteq[a_n;b_n] Dadurch können die unteren Grenzen nur steigen oder gleich bleiben. Die oberen Grenzen können nur fallen oder gleich bleiben.
Definition
Abgeschlossenes Intervall
Für a\le b gilt: [a;b]=\{x\mid a\le x\le b\} Die Intervalllänge ist b-a.
Beispiel: Eine geschachtelte Folge
- 1[1;2], [1{,}4;1{,}5], [1{,}41;1{,}42]
- 2Jedes Intervall liegt im vorherigen
- 3Längen: 1, 0{,}1 und 0{,}01
Teste dich
Verschachtelte Intervalle allein reichen nicht. Ihre Längen müssen zusätzlich gegen 0 gehen. Das bedeutet: Sie werden schließlich kleiner als jede vorgegebene positive Zahl. Die Zahl, die in allen Intervallen liegt, heißt Kern. Für sie gilt in jedem Schritt: a_n\le c\le b_n Eine Intervallschachtelung bestimmt genau einen reellen Kern. Zwei verschiedene Kerne könnten nicht für immer gemeinsam in Intervallen liegen, deren Länge gegen 0 geht: Ihr fester Abstand wäre irgendwann größer als das ganze Intervall.
Definition
Intervallschachtelung
Eine Folge abgeschlossener Intervalle [a_n;b_n] heißt Intervallschachtelung, wenn zwei Bedingungen gelten: Jedes folgende Intervall liegt im vorherigen. Die Längen b_n-a_n bilden eine Nullfolge, gehen also gegen 0.
Merke: Geschachtelt sagt, wo das nächste Intervall liegt. Länge gegen null sagt, dass am Ende nicht mehrere verschiedene Zahlen übrig bleiben können. Erst beide Bedingungen machen die Intervallschachtelung aus.
Teste dich
Um \sqrt{s} für eine positive Zahl s zu finden, suchst du zuerst zwei nichtnegative Zahlen a und b mit a^2\le s\le b^2. Dann liegt \sqrt{s} im Intervall [a;b]. Du testest einen Zwischenwert m: Ist m^2\lt s, wird m zur neuen unteren Grenze. Ist m^2\gt s, wird m zur neuen oberen Grenze. Ist m^2=s, hast du die Wurzel genau gefunden. Du kannst systematisch Dezimalstellen prüfen oder das aktuelle Intervall immer wieder halbieren. Bei beiden Strategien bleibt dieselbe Entscheidung wichtig: Das Quadrat des Testwerts zeigt, welche Grenze ersetzt wird.
Beispiel: \sqrt2 einschachteln
- 1Start: 1^2\lt 2\lt 2^2, also \sqrt2\in[1;2]
- 2Teste 1{,}5: 1{,}5^2=2{,}25\gt 2, also \sqrt2\in[1;1{,}5]
- 3Teste 1{,}4: 1{,}4^2=1{,}96\lt 2, also \sqrt2\in[1{,}4;1{,}5]
- 4Teste Hundertstel: 1{,}41^2=1{,}9881\lt 2 und 1{,}42^2=2{,}0164\gt 2
- 5Ergebnis: \sqrt2\in[1{,}41;1{,}42]
Merke: Ist das Quadrat des Testwerts zu klein, wird der Testwert die neue untere Grenze. Ist es zu groß, wird er die neue obere Grenze.
Teste dich
Ein enges Intervall gibt nicht nur einen Näherungswert an, sondern auch eine kontrollierbare Genauigkeit. Ist c im Intervall [a;b], dann kann der Kern vom unteren oder oberen Rand höchstens um die Intervalllänge b-a entfernt sein. Als Näherungswert kannst du den Mittelpunkt verwenden: m=\frac{a+b}{2}. Weil der Mittelpunkt von beiden Grenzen gleich weit entfernt ist, beträgt sein größtmöglicher Abstand zum Kern die halbe Intervalllänge. Ein sinnvolles Abbruchkriterium nennt die gewünschte Genauigkeit. Soll die Intervalllänge höchstens 0{,}001 sein, wiederholst du das Verfahren, bis b-a\le0{,}001 gilt. „Ich habe oft genug gerechnet“ ist dagegen kein überprüfbares Kriterium.
Beispiel: Genauigkeit bei \sqrt5
- 12{,}23^2=4{,}9729\lt 5 und 2{,}24^2=5{,}0176\gt 5
- 2Also \sqrt5\in[2{,}23;2{,}24] mit der Länge 0{,}01
- 3Mittelpunkt: \frac{2{,}23+2{,}24}{2}=2{,}235
- 4Der Kern ist höchstens 0{,}005 vom Mittelpunkt entfernt
Merke: Der Mittelpunkt ist höchstens die halbe Intervalllänge vom Kern entfernt. Lege vorher fest, wie klein b-a werden soll.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Intervallschachtelung
Aufbau
abgeschlossene Intervalle; jedes folgende liegt im vorherigen; Intervalllängen gehen gegen null
Grenzen
untere Grenzen steigen oder bleiben gleich; obere Grenzen fallen oder bleiben gleich
Kern
liegt in jedem Intervall; ist eindeutig festgelegt
Wurzeln annähern
Startintervall durch Quadratzahlen; Testwert quadrieren; passende Grenze ersetzen
Genauigkeit
Intervalllänge prüfen; Mittelpunkt als Näherungswert; Abbruchkriterium festlegen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\sqrt7 auf zwei Nachkommastellen einschachteln
- 1Start: 2^2=4\lt 7\lt 9=3^2, also \sqrt7\in[2;3]
- 2Teste 2{,}6: 2{,}6^2=6{,}76\lt 7, also \sqrt7\in[2{,}6;3]
- 3Teste 2{,}7: 2{,}7^2=7{,}29\gt 7, also \sqrt7\in[2{,}6;2{,}7]
- 4Teste Hundertstel: 2{,}64^2=6{,}9696\lt 7 und 2{,}65^2=7{,}0225\gt 7
- 5Ergebnis: \sqrt7\in[2{,}64;2{,}65], Mittelpunkt 2{,}645 mit Fehler höchstens 0{,}005
Fehler finden
\sqrt3 einschachteln In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Das Quadrat 3{,}24 ist zu groß, also liegt \sqrt3 unter 1{,}8. Der Testwert wird die neue obere Grenze: \sqrt3\in[1;1{,}8].
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für \sqrt5 liefern die Quadratzahlen 2^2=4 und 3^2=9 zuerst ein Intervall mit den Grenzen . Weil 2{,}2^2=4{,}84 kleiner als 5 ist, wird 2{,}2 zur Grenze. Weil 2{,}3^2=5{,}29 größer als 5 ist, wird 2{,}3 zur Grenze.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
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