Heron-Verfahren: Quadratwurzeln näherungsweise berechnen

Stell dir ein Rechteck mit dem Flächeninhalt a vor. Hat eine Seite die Länge x, muss die andere die Länge \frac{a}{x} haben, denn x \cdot \frac{a}{x} = a. Ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt hätte zwei gleich lange Seiten, jede genau \sqrt{a} lang. Beim Heron-Verfahren ersetzt du x durch den Mittelwert der beiden Rechteckseiten. So werden die Seiten einander immer ähnlicher, und das Rechteck wird fast zum Quadrat.

Du brauchst einen positiven Radikanden a, also die Zahl unter dem Wurzelzeichen, und einen positiven Startwert x_0. Schätze die Wurzel zuerst mit benachbarten Quadratzahlen ab. Für \sqrt{7} gilt 2^2 < 7 < 3^2, also liegt \sqrt{7} zwischen 2 und 3. Weil 7 näher an 9 als an 4 liegt, passt ein Startwert wie x_0 = 3 gut. Dann wiederholst du: Quotient \frac{a}{x_n} berechnen, Mittelwert mit x_n bilden, Ergebnis als x_{n+1} verwenden. Der Startwert muss nicht exakt sein, ein Wert nahe bei \sqrt{a} spart aber Schritte. x_0 = 0 ist verboten, weil du sonst durch null teilst. Runde Zwischenergebnisse nicht zu früh: Rechne mit Brüchen oder mit zusätzlichen Nachkommastellen.

„Die Werte ändern sich kaum noch“ hilft nur, wenn du vorher festlegst, wie genau du rechnen willst. Nach dem ersten Heron-Schritt liegt x_n bei einem positiven Startwert nie unter \sqrt{a}. Der Quotient liegt auf der anderen Seite: \frac{a}{x_n} \le \sqrt{a} \le x_n für n \ge 1. So hast du eine untere und eine obere Schranke. Ergeben beide gerundet dieselbe Zahl, ist diese Angabe abgesichert. Typische Fehler: einen neuen Radikanden einsetzen, die Division durch 2 vergessen, jeden Zwischenschritt grob runden oder ein Gleichheitszeichen statt \approx schreiben.