Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Höhensatz des Euklid: Längen berechnen und die Formel verstehen
Der Höhensatz verbindet im rechtwinkligen Dreieck die Höhe mit den beiden Hypotenusenabschnitten. Du lernst die Formel, Rechenwege und einen Beweis.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Höhensatz des Euklid besagt: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe zur Hypotenuse gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte, also h^2 = p \cdot q. Für p = 4\,\mathrm{cm} und q = 9\,\mathrm{cm} ist h^2 = 36\,\mathrm{cm}^2 und h = 6\,\mathrm{cm}.
Der Höhensatz des Euklid gilt in einem rechtwinkligen Dreieck: Die Höhe zur Hypotenuse erfüllt h^2 = p \cdot q. Du kannst damit die Höhe oder einen Hypotenusenabschnitt berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Höhensatz gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel, heißt Hypotenuse c. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Zeichnest du vom Eckpunkt des rechten Winkels das Lot auf die Hypotenuse, erhältst du die Höhe h. Ihr Fußpunkt teilt die Hypotenuse in die Abschnitte p und q, es gilt also c = p + q. Der Höhensatz lautet h^2 = p \cdot q: Das Quadrat der Höhe ist das Produkt der beiden Abschnitte.
Definition
Höhe zur Hypotenuse
Die Höhe h beginnt am Scheitel des rechten Winkels und steht senkrecht auf der Hypotenuse. Nur diese Höhe gehört zum Höhensatz.
Merke: Beim Höhensatz multiplizierst du die beiden Abschnitte der Hypotenuse. Die Katheten gehören nicht in diese Formel, sie kommen im Kathetensatz vor.
Teste dich
Höhe gesucht: Schreibe h^2 = p \cdot q auf, setze p und q mit Einheiten ein und ziehe die Quadratwurzel. Nimm die positive Wurzel, denn eine Länge ist nie negativ. Abschnitt gesucht: Teile h^2 = p \cdot q durch den bekannten Abschnitt. So erhältst du q = \frac{h^2}{p} oder p = \frac{h^2}{q}. Das ist erlaubt, weil beide Abschnitte länger als null sind. Hypotenuse gesucht: Addiere die Abschnitte, c = p + q. Achte auf die Einheiten: In h^2 = p \cdot q stehen auf beiden Seiten Flächeneinheiten, nach dem Teilen bleibt wieder eine Länge.
Beispiel: Die Höhe aus p und q
- 1Gegeben: p = 2\,\mathrm{cm}, q = 4\,\mathrm{cm}
- 2h^2 = 2\,\mathrm{cm} \cdot 4\,\mathrm{cm} = 8\,\mathrm{cm}^2
- 3h = \sqrt{8}\,\mathrm{cm} \approx 2{,}83\,\mathrm{cm}
Beispiel: Einen Abschnitt aus h und p
- 1Gegeben: h = 12\,\mathrm{cm}, p = 3\,\mathrm{cm}
- 2(12\,\mathrm{cm})^2 = 3\,\mathrm{cm} \cdot q, also 144\,\mathrm{cm}^2 = 3\,\mathrm{cm} \cdot q
- 3q = \frac{144\,\mathrm{cm}^2}{3\,\mathrm{cm}} = 48\,\mathrm{cm}
- 4Probe: 3\,\mathrm{cm} \cdot 48\,\mathrm{cm} = 144\,\mathrm{cm}^2
Beispiel: Abschnitt und Hypotenuse aus h und q
- 1Gegeben: h = 9\,\mathrm{cm}, q = 4\,\mathrm{cm}
- 2p = \frac{h^2}{q} = \frac{81\,\mathrm{cm}^2}{4\,\mathrm{cm}} = 20{,}25\,\mathrm{cm}
- 3c = p + q = 20{,}25\,\mathrm{cm} + 4\,\mathrm{cm} = 24{,}25\,\mathrm{cm}
Teste dich
Als Flächenaussage heißt der Höhensatz: Ein Quadrat mit der Seitenlänge h hat denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck mit den Seiten p und q. Beweisen kannst du ihn mit dem Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Die Höhe zerlegt das große Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Nenne die Katheten des großen Dreiecks a und b. Das erste kleine Dreieck hat die Katheten h und p und die Hypotenuse a, das zweite die Katheten h und q und die Hypotenuse b.
Beispiel: Flächen vergleichen
- 1Gegeben: h = 4\,\mathrm{cm}, p = 2\,\mathrm{cm}, q = 8\,\mathrm{cm}
- 2Quadrat über h: (4\,\mathrm{cm})^2 = 16\,\mathrm{cm}^2
- 3Rechteck aus p und q: 2\,\mathrm{cm} \cdot 8\,\mathrm{cm} = 16\,\mathrm{cm}^2
- 4Beide Flächen sind gleich groß, der Höhensatz ist erfüllt.
Beispiel: Beweis mit dem Satz des Pythagoras
- 1Kleine Dreiecke: h^2 + p^2 = a^2 und h^2 + q^2 = b^2
- 2Großes Dreieck mit c = p + q: a^2 + b^2 = (p + q)^2
- 3Einsetzen: h^2 + p^2 + h^2 + q^2 = p^2 + 2pq + q^2
- 4p^2 und q^2 auf beiden Seiten abziehen: 2h^2 = 2pq
- 5Durch 2 teilen: h^2 = pq
Teste dich
Der häufigste Fehler: Nach dem Einsetzen steht h^2 da, und das Wurzelziehen wird vergessen. Prüfe am Ende die Einheit. Eine Höhe hat eine Längeneinheit wie cm, keine Flächeneinheit wie cm². Ein zweiter Fehler: p und q werden addiert statt multipliziert. Addiert werden sie nur für die Hypotenuse c = p + q. Achte außerdem darauf, dass das Dreieck einen rechten Winkel hat und h wirklich die Höhe zur Hypotenuse ist.
| Falsch | Richtig |
|---|---|
| h^2 = 25\,\mathrm{cm}^2, also h = 25\,\mathrm{cm} | h = \sqrt{25}\,\mathrm{cm} = 5\,\mathrm{cm} |
| h = p + q | h^2 = p \cdot q |
| p = \frac{h}{q} | p = \frac{h^2}{q} |
| Höhensatz in jedem Dreieck | nur im rechtwinkligen Dreieck mit der Höhe zur Hypotenuse |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Höhensatz
Voraussetzung
rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe zur Hypotenuse
Formel
h^2 = p \cdot q
Höhe
h = \sqrt{p \cdot q}, die positive Wurzel
Abschnitt
p = \frac{h^2}{q} oder q = \frac{h^2}{p}
Flächen
Höhenquadrat und Rechteck aus p und q sind gleich groß
Beweis
folgt aus dem Satz des Pythagoras
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Höhe bei der Hypotenuse 18 cm und dem Abschnitt 6 cm
- 1Gegeben: c = 18\,\mathrm{cm}, p = 6\,\mathrm{cm}
- 2q = c - p = 18\,\mathrm{cm} - 6\,\mathrm{cm} = 12\,\mathrm{cm}
- 3h^2 = 6\,\mathrm{cm} \cdot 12\,\mathrm{cm} = 72\,\mathrm{cm}^2
- 4h = \sqrt{72}\,\mathrm{cm} \approx 8{,}49\,\mathrm{cm}
- 5Die Höhe ist etwa 8,49 cm lang.
Fehler finden
Höhe bei den Abschnitten 3 cm und 27 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Berechnet war erst h^2. Für die Länge fehlt die Wurzel: h = \sqrt{81} = 9, die Höhe ist 9 cm lang.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Höhensatz gilt nur im Dreieck. Die Höhe teilt die Hypotenuse in die Abschnitte p und q, die du . Aus h^2 erhältst du die Höhe durch .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback