Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Lineare Gleichungssysteme lösen: Verfahren & Übungen
Ein lineares Gleichungssystem löst du mit Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren. Du erkennst die Lösungsfälle, machst die Probe und übersetzt Sachaufgaben.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen. Bei zwei Variablen ist die Lösung ein Zahlenpaar (x|y), graphisch der Schnittpunkt zweier Geraden. Du löst es mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren.
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Variablen. Gesucht sind Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Bei zwei Variablen ist die Lösung ein geordnetes Zahlenpaar wie (x|y). Auf dieser Seite lernst du, ein LGS graphisch zu deuten, ein passendes Rechenverfahren auszuwählen, die Lösung zu prüfen und eine Sachsituation als LGS zu beschreiben.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Die Lösungen des Systems sind die gemeinsamen Punkte der Geraden. Schneiden sich die Geraden, gibt es genau eine Lösung. Sind sie parallel und verschieden, gibt es keine Lösung. Ist es dieselbe Gerade, gibt es unendlich viele Lösungen. Auch beim Rechnen erkennst du diese Fälle: Ein Ergebnis wie x=1 führt meist zu genau einem Zahlenpaar. Ein Widerspruch wie 0=1 heißt: keine Lösung. Eine wahre Aussage wie 0=0 heißt: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade, es gibt unendlich viele Lösungen.
Definition
Geordnetes Zahlenpaar
Im Paar (x|y) steht der erste Wert für x und der zweite für y. Die Reihenfolge darfst du nicht vertauschen.
Beispiel: Probe für (1|2) im System x+y=3 und 2x+y=4
- 1Erste Gleichung: 1+2=3
- 2Zweite Gleichung: 2\cdot1+2=4
- 3Beide stimmen, also L=\{(1|2)\}
Merke: Eine Lösung muss jede Gleichung des Systems erfüllen. Eine richtige Rechnung in nur einer Gleichung reicht nicht.
Teste dich
Alle drei Rechenverfahren haben dasselbe Ziel: Eine Variable verschwindet, und es bleibt eine Gleichung mit nur einer Variablen. Das Einsetzungsverfahren passt, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist. Das Gleichsetzungsverfahren passt, wenn beide nach derselben Variablen aufgelöst sind. Das Additionsverfahren passt, wenn eine Variable entgegengesetzte Koeffizienten hat oder du sie leicht erzeugen kannst. Richtig angewendet führt jedes Verfahren zum selben Ergebnis, die Form entscheidet nur, welcher Weg kurz ist. Multiplizierst du eine Gleichung, dann multipliziere jeden Term auf beiden Seiten mit demselben Faktor. Die meisten Fehler passieren bei Vorzeichen und Klammern.
Beispiel: Einsetzungsverfahren: y=3x+4 und 4y-3x=9
- 1I in II einsetzen: 4(3x+4)-3x=9
- 212x+16-3x=9
- 39x=-7
- 4x=-\frac79
- 5In I: y=3\cdot\left(-\frac79\right)+4=-\frac73+\frac{12}{3}=\frac53
- 6L=\left\{\left(-\frac79\middle|\frac53\right)\right\}
Beispiel: Gleichsetzungsverfahren: y=3x+1 und y=-x+1
- 1Gleichsetzen: 3x+1=-x+1
- 24x=0
- 3x=0
- 4Einsetzen: y=3\cdot0+1=1
- 5L=\{(0|1)\}, der Schnittpunkt der beiden Geraden
Beispiel: Additionsverfahren: 2x+3y=4 und 3x+4y=5
- 1I mal 3: 6x+9y=12
- 2II mal (-2): -6x-8y=-10
- 3Addieren: y=2
- 4In I: 2x+3\cdot2=4
- 52x=-2
- 6x=-1
- 7L=\{(-1|2)\}
Teste dich
Eine vollständige Probe setzt das Zahlenpaar in jede Ausgangsgleichung ein. Ordne die Werte den richtigen Variablen zu, rechne beide Seiten jeder Gleichung getrennt aus und prüfe, ob überall eine wahre Aussage entsteht. Dann notierst du die Lösungsmenge als geordnetes Paar. Die Probe findet viele Rechen- und Vorzeichenfehler. Sie ersetzt aber nicht den Blick auf die Sachsituation: Ein rechnerisch richtiges Ergebnis kann zum Beispiel eine negative Länge sein.
Beispiel: Probe für (-1|2) aus dem Additionsverfahren
- 1I: 2\cdot(-1)+3\cdot2=-2+6=4
- 2II: 3\cdot(-1)+4\cdot2=-3+8=5
- 3Beide Aussagen stimmen, also ist (-1|2) die Lösung.
Teste dich
Bei einer Sachaufgabe legst du zuerst die Variablen mit ihren Einheiten fest. Dann übersetzt du jede Information in eine Gleichung. Beispiel: Mick kauft drei Schokoriegel und zwei Eis für 4{,}80\,€. Max kauft einen Schokoriegel und zwei Eis für 3{,}00\,€. Weil die y-Terme gleich sind, ziehst du die zweite Gleichung von der ersten ab.
Beispiel: Schokoriegel und Eis
- 1x: Preis eines Schokoriegels in €, y: Preis eines Eises in €
- 2I: 3x+2y=4{,}80
- 3II: x+2y=3{,}00
- 4I minus II: 2x=1{,}80, also x=0{,}90
- 5In II: 0{,}90+2y=3{,}00, also 2y=2{,}10 und y=1{,}05
- 6Probe I: 3\cdot0{,}90+2\cdot1{,}05=4{,}80
- 7Probe II: 0{,}90+2\cdot1{,}05=3{,}00
- 8Ein Riegel kostet 0{,}90\,€, ein Eis 1{,}05\,€.
Merke: Bei Sachaufgaben folgt nach der Rechnung eine Kontextprüfung: Stimmen Einheit, Vorzeichen, Größenordnung und gegebenenfalls Ganzzahligkeit? Passt das Ergebnis zur beschriebenen Situation?
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lineare Gleichungssysteme
Bedeutung
Alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen, Lösung als geordnetes Paar
Graphisch
Schnittpunkt der Geraden, parallel heißt keine Lösung
Verfahren
Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren
Sonderfälle
Ein Widerspruch wie 0=1 heißt keine Lösung, 0=0 unendlich viele
Kontrolle
Probe in allen Gleichungen, Einheit und Sachkontext prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Kinokarten: 2 Erwachsene und 3 Kinder zahlen 38\,€, 1 Erwachsener und 2 Kinder 22\,€
- 1x: Preis für Erwachsene, y: Preis für Kinder, beides in €
- 2I: 2x+3y=38, II: x+2y=22
- 3II nach x auflösen: x=22-2y
- 4In I einsetzen: 2(22-2y)+3y=38
- 544-4y+3y=38
- 644-y=38
- 7y=6
- 8In II: x=22-2\cdot6=10
- 9Probe I: 2\cdot10+3\cdot6=38
- 10Ein Erwachsener zahlt 10\,€, ein Kind 6\,€.
Fehler finden
Löse x+2y=8 und 3x-y=3 mit dem Additionsverfahren In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Auch die rechte Seite muss mal 2: 6x-2y=6. Dann ergibt das Addieren 7x=14, also x=2 und mit II y=3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Lösung eines LGS muss Gleichungen erfüllen. Endet die Rechnung mit einem Widerspruch, hat das System Lösungen. Beim fällt eine Variable durch Addieren der Gleichungen weg.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback