Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Gleichsetzungsverfahren: LGS einfach lösen
Zwei Gleichungen, dieselbe Variable freigestellt, gleichsetzen: Du lernst das Gleichsetzungsverfahren Schritt für Schritt, mit Probe und Sachaufgaben.
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Kurz gesagt
Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen eines LGS nach derselben Variablen um, zum Beispiel y = 2x + 1 und y = -x + 7. Dann setzt du die rechten Seiten gleich: 2x + 1 = -x + 7, also x = 2. Rückeinsetzen ergibt y = 5, die Lösung ist L = \{(2 \mid 5)\}.
Das Gleichsetzungsverfahren löst ein lineares Gleichungssystem, indem du zwei Ausdrücke für dieselbe Variable gleichsetzt. So bleibt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Danach setzt du den gefundenen Wert zurück und prüfst das Zahlenpaar in beiden Ausgangsgleichungen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht hier aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen. Gesucht ist ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Betrachte I: y = 2x + 1 und II: y = -x + 7. Beide rechten Seiten beschreiben y. Deshalb darfst du 2x + 1 = -x + 7 setzen. Nicht erlaubt ist es, einen Term für x mit einem Term für y gleichzusetzen. Aus y = 2x - 1 und x = y + 3 darfst du also nicht sofort 2x - 1 = y + 3 bilden. Zuerst müssen beide Gleichungen dieselbe Variable freistellen.
Definition
Gleichsetzungsverfahren
Du formst beide Gleichungen nach derselben Variablen um. Beschreiben beide rechten Seiten zum Beispiel y, dann müssen diese Terme an der gemeinsamen Lösung gleich groß sein.
Merke: Gleichsetzen darfst du nur Terme für dieselbe Variable.
Teste dich
Gehe in fünf Schritten vor: 1. Stelle beide Gleichungen nach derselben Variablen frei. 2. Setze die beiden Terme gleich. 3. Löse die neue Gleichung nach der verbleibenden Variablen. 4. Setze den Wert in eine Ausgangsgleichung ein und bestimme die zweite Variable. 5. Prüfe das Zahlenpaar in beiden Ausgangsgleichungen und notiere die Lösungsmenge als L = \{(x \mid y)\}. Welche Variable du freistellst, darfst du wählen. Nimm die, bei der du am wenigsten umformen musst.
Beispiel: I: x = 7 - y und II: x = 2y + 1 lösen
- 1Beide Gleichungen sind nach x aufgelöst.
- 2Gleichsetzen: 7 - y = 2y + 1
- 3+y und -1: 6 = 3y
- 4:3: y = 2
- 5In I: x = 7 - 2 = 5
- 6Probe: 5 = 7 - 2 und 5 = 2 \cdot 2 + 1, also L = \{(5 \mid 2)\}
Teste dich
Oft steht die gleiche Variable noch nicht allein. Dann formst du beide Gleichungen mit Gegenoperationen um, und zwar immer auf beiden Seiten. Achte dabei besonders auf Minuszeichen: Aus -y = 3 + 2x wird erst nach dem Malnehmen beider Seiten mit -1 die Gleichung y = -3 - 2x.
Beispiel: I: 2x + y = 15 und II: x - y = 3 lösen
- 1I nach y: y = 15 - 2x
- 2II nach y: -y = 3 - x, mal (-1): y = x - 3
- 3Gleichsetzen: 15 - 2x = x - 3
- 4+2x und +3: 18 = 3x, also x = 6
- 5In II: y = 6 - 3 = 3
- 6Probe: 2 \cdot 6 + 3 = 15 und 6 - 3 = 3, also L = \{(6 \mid 3)\}
Teste dich
Zwei lineare Gleichungen können dieselbe Größe auf verschiedene Weise beschreiben, zum Beispiel die Kosten zweier Tarife. Beim Gleichsetzen findest du den Wert, bei dem beide Beschreibungen übereinstimmen. Im Koordinatensystem ist das der Schnittpunkt der beiden Geraden. In einer Sachaufgabe tragen seine Koordinaten eine Bedeutung und eine Einheit. Deine Lösung ist erst vollständig, wenn du beide Variablen bestimmt, das Zahlenpaar in beiden Gleichungen geprüft und im Sachzusammenhang gedeutet hast.
Beispiel: Tarif A: 12 € Grundgebühr und 1 € pro GB. Tarif B: 6 € Grundgebühr und 2 € pro GB.
- 1x = Datenmenge in GB, y = Kosten in €
- 2A: y = 12 + x und B: y = 6 + 2x
- 3Gleichsetzen: 12 + x = 6 + 2x
- 4-x und -6: 6 = x
- 5y = 12 + 6 = 18
- 6Bei 6 GB kosten beide Tarife 18 €. Der Schnittpunkt ist (6 \mid 18).
Merke: Fertig bist du erst nach beiden Werten, der Probe und einem Antwortsatz mit Einheiten.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Gleichsetzungsverfahren
Voraussetzung
beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen
Rechenweg
freistellen, gleichsetzen, lösen, rückeinsetzen, prüfen
Vorzeichen
jede Gegenoperation auf beiden Seiten ausführen
Ergebnis
ein Zahlenpaar (x \mid y), das beide Gleichungen erfüllt
Anwendung
der Schnittpunkt zweier Geraden oder Tarife
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
I: y = 3x - 5 und II: y = -2x + 10 lösen
- 1Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst.
- 2Gleichsetzen: 3x - 5 = -2x + 10
- 3+2x und +5: 5x = 15
- 4:5: x = 3
- 5In I: y = 3 \cdot 3 - 5 = 4
- 6Probe in II: -2 \cdot 3 + 10 = 4, also L = \{(3 \mid 4)\}
Fehler finden
I: 2x + y = 11 und II: y - x = 2 lösen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Um -x wegzubekommen, addierst du x auf beiden Seiten: y = x + 2. Dann gilt 11 - 2x = x + 2, also x = 3 und y = 5. Probe: 2 \cdot 3 + 5 = 11 und 5 - 3 = 2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Gleichsetzen darfst du nur Terme für Variable. Danach bleibt eine Gleichung mit Unbekannten. Die Lösung muss Ausgangsgleichungen erfüllen.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback