Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Irrationale Zahlen erkennen und verstehen
Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben. Du lernst, sie zu erkennen, Wurzeln einzuordnen und zu begründen, warum √2 irrational ist.
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Kurz gesagt
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch \frac pq zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Beispiele sind \sqrt2\approx1{,}41421, \pi und jede Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist.
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben lässt. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Auf dieser Seite lernst du, irrationale Zahlen zu erkennen, Wurzeln einzuordnen, \sqrt2 anzunähern und ihre Irrationalität zu begründen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Rationale Zahlen erkennst du an einer endlichen oder periodischen Dezimaldarstellung. Irrationale Zahlen haben dagegen unendlich viele Nachkommastellen ohne sich wiederholenden endlichen Ziffernblock.
Definition
Irrationale Zahl
Eine reelle Zahl ist irrational, wenn sie nicht als \frac{p}{q} mit ganzen Zahlen p und q und q\ne0 geschrieben werden kann. Die Menge der irrationalen reellen Zahlen ist \mathbb R\setminus\mathbb Q.
| Zahl | Einordnung | Begründung |
|---|---|---|
| -7 | rational | -7=\frac{-7}{1} |
| 0{,}25 | rational | 0{,}25=\frac14 |
| 0{,}\overline{3} | rational | Die Dezimaldarstellung ist periodisch. |
| \sqrt2 | irrational | Sie ist kein Quotient zweier ganzer Zahlen. |
| \pi | irrational | Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. |
Merke: „Unendlich viele Nachkommastellen“ genügt nicht als Merkmal. Eine periodische Zahl wie 0{,}333\ldots ist rational. Irrational ist eine Dezimaldarstellung nur dann, wenn sie unendlich und nicht periodisch ist.
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Für eine natürliche Zahl n gilt: Ist n eine Quadratzahl, dann ist \sqrt n eine natürliche und damit rationale Zahl. Ist n keine Quadratzahl, dann ist \sqrt n irrational. Die Regel bezieht sich hier auf Wurzeln aus natürlichen Zahlen. Auch manche Brüche oder Dezimalzahlen haben rationale Wurzeln, zum Beispiel \sqrt{\frac49}=\frac23 und \sqrt{0{,}16}=0{,}4.
Beispiel: \sqrt{25} und \sqrt{26} einordnen
- 15^2=25, also ist 25 eine Quadratzahl und \sqrt{25}=5 rational
- 225\lt 26\lt 36, also 5\lt\sqrt{26}\lt 6
- 326 ist keine Quadratzahl, also ist \sqrt{26} irrational
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Ein exakter Ausdruck wie \sqrt2 bezeichnet die Zahl vollständig. Eine endliche Dezimalzahl wie 1{,}41 ist dagegen nur eine Näherung und selbst rational. Du kannst \sqrt2 durch immer engere Intervalle einschließen. Bei jedem Schritt vergleichst du die Quadrate der Grenzen mit 2. Je enger das Intervall, desto genauer ist die Näherung.
Beispiel: \sqrt2 immer enger einschließen
- 11^2=1<2<4=2^2, also 1<\sqrt2<2
- 21{,}4^2=1{,}96<2<2{,}25=1{,}5^2, also 1{,}4<\sqrt2<1{,}5
- 31{,}41^2=1{,}9881<2<2{,}0164=1{,}42^2, also 1{,}41<\sqrt2<1{,}42
- 41{,}414^2=1{,}999396<2<2{,}002225=1{,}415^2, also 1{,}414<\sqrt2<1{,}415
Merke: Runden verändert nicht die ursprüngliche Zahl: 3{,}14 ist eine rationale Näherung für die irrationale Zahl \pi; 3{,}14 und \pi sind nicht dieselbe Zahl.
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Ein Widerspruchsbeweis beginnt mit dem Gegenteil der Behauptung. Führt diese Gegenannahme zu einem unmöglichen Ergebnis, muss die ursprüngliche Behauptung stimmen. Für \sqrt2 nimmst du also an, \sqrt2 sei rational. Ein wichtiger Zwischenschritt: Ist p^2 gerade, dann ist auch p gerade. Denn wäre p ungerade, wäre auch p^2 ungerade.
Beispiel: Beweis, dass \sqrt2 irrational ist
- 1Annahme: \sqrt2=\frac pq, vollständig gekürzt, p und q ganz, q\ne0
- 2Quadrieren: 2=\frac{p^2}{q^2}, also p^2=2q^2
- 3p^2 ist gerade, also ist auch p gerade: p=2n
- 4Einsetzen: 4n^2=2q^2, also q^2=2n^2
- 5Also ist auch q gerade, und \frac pq wäre mit 2 kürzbar: ein Widerspruch
Merke: Die Gegenannahme „\sqrt2 ist rational“ führt zum Widerspruch. Daher lässt sich \sqrt2 nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen und ist irrational.
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Alles auf einen Blick
Irrationale Zahlen
Definition
reelle Zahl, die nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist
Dezimaldarstellung
unendlich und nicht periodisch
Beispiele
\sqrt2, \sqrt{10}, \pi, e
Wurzeln
natürliche Nichtquadratzahlen liefern irrationale Ergebnisse
Näherung
rationale Grenzen werden schrittweise enger
Beweisidee
Gegenannahme führt bei \sqrt2 zu einem kürzbaren Bruch
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Vier Zahlen einordnen
- 1\sqrt{64}=8, weil 8^2=64: rational
- 27^2=49 und 8^2=64, also ist 50 keine Quadratzahl: \sqrt{50} ist irrational
- 3Dabei gilt 7\lt\sqrt{50}\lt 8
- 40{,}\overline{6} ist periodisch, also rational: Es ist der Bruch \frac23
- 5\sqrt{0{,}09}=0{,}3, weil 0{,}3^2=0{,}09: rational
Fehler finden
Ist \frac{5}{11} rational oder irrational? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Unendlich viele Stellen reichen nicht: Die Ziffern 45 wiederholen sich periodisch, und \frac{5}{11} ist schon ein Bruch ganzer Zahlen. Also ist \frac{5}{11} rational.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Zahl ist irrational, wenn ihre Dezimaldarstellung unendlich und ist. \sqrt{49} ist , weil 49 eine Quadratzahl ist. 1{,}414 ist eine von \sqrt2.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
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