Kathetensatz: Formel, Zuordnung und Aufgaben

Der Kathetensatz gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Seiten a und b schließen den rechten Winkel ein. Sie heißen Katheten. Die gegenüberliegende und längste Seite c heißt Hypotenuse. Die Höhe vom Scheitel des rechten Winkels steht senkrecht auf c und teilt sie in die Abschnitte p und q. Der anliegende Abschnitt hat mit seiner Kathete einen Eckpunkt des großen Dreiecks gemeinsam. Hier nennen wir den an a liegenden Abschnitt p und den an b liegenden Abschnitt q. Zusammen bilden beide Abschnitte die Hypotenuse: c=p+q.

Wenn eine Kathete gesucht ist, kannst du immer nach demselben Muster arbeiten: Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Ordne den Abschnitt zu: p\to a oder q\to b. Berechne einen fehlenden Abschnitt bei Bedarf mit q=c-p oder p=c-q. Setze in a^2=p\cdot c oder b^2=q\cdot c ein. Ziehe die positive Quadratwurzel, weil eine Seitenlänge nicht negativ ist. Ergänze die Längeneinheit und prüfe die Größenordnung. Das Produkt zweier Längen hat eine Flächeneinheit, zum Beispiel \mathrm{cm}^2. Durch das Wurzelziehen erhältst du wieder eine Länge in \mathrm{cm}. Im Beispiel sind c=6\,\mathrm{cm}, p=2\,\mathrm{cm} und q=4\,\mathrm{cm} gegeben, gesucht sind beide Katheten.

Der Kathetensatz hilft auch, wenn nicht die Kathete, sondern die Hypotenuse oder einer ihrer Abschnitte gesucht ist. Du stellst die Formel dann um: Aus b^2=q\cdot c wird c=\frac{b^2}{q}. Ein Beispiel aus der Vermessung: Eine Strecke ist nicht direkt messbar, aber es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Gemessen werden die Kathete b=16\,\mathrm{m} und ihr Hypotenusenabschnitt q=8\,\mathrm{m}. Der andere Abschnitt p ist die gesuchte Breite.

Abschnitt und Kathete werden vertauscht: p gehört zu a, q gehört zu b. Markiere diese Paare vor dem Einsetzen in einer Skizze oder in den gegebenen Angaben. Ein Abschnitt wird für die ganze Hypotenuse gehalten: c ist die gesamte Hypotenuse. Deshalb gilt c=p+q und nicht c=p oder c=q. Die Wurzel fehlt: Aus a^2=12\,\mathrm{cm}^2 folgt nicht a=12\,\mathrm{cm}. Richtig ist a=\sqrt{12}\,\mathrm{cm}. Der Satz wird im falschen Dreieck benutzt: Ohne rechten Winkel darfst du den Kathetensatz nicht anwenden. Sind nur zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gegeben, aber keine Hypotenusenabschnitte, ist häufig der Satz des Pythagoras der direktere Weg.