Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Gauß-Verfahren: LGS Schritt für Schritt lösen
Mit dem Gauß-Verfahren löst du lineare Gleichungssysteme systematisch: Matrix aufstellen, Stufenform erzeugen, rückwärts einsetzen, Lösungsfall erkennen.
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Kurz gesagt
Das Gauß-Verfahren löst ein lineares Gleichungssystem, indem du es als erweiterte Koeffizientenmatrix schreibst und mit erlaubten Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringst. Dann löst du von unten nach oben. An der Stufenform siehst du auch, ob es genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
Mit dem Gauß-Verfahren verwandelst du ein lineares Gleichungssystem durch erlaubte Zeilenumformungen in Zeilenstufenform. Dann löst du es von unten nach oben. Das klappt bei drei Gleichungen mit drei Variablen genauso wie bei größeren Systemen. An der Stufenform erkennst du außerdem, ob es genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
Deine Lernziele
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4 Abschnitte
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit denselben Variablen. Bei zwei Gleichungen kommst du oft auch mit dem Einsetzungsverfahren oder der Cramerschen Regel ans Ziel. Das Gauß-Verfahren klappt bei jeder Größe. Dabei notierst du nur die Koeffizienten und rechten Seiten. Die Spalten stehen in einer festen Reihenfolge, hier x, y, z. Fehlt eine Variable, steht dort der Koeffizient 0. Vor x steht unsichtbar der Koeffizient 1, vor -y der Koeffizient -1.
Definition
Erweiterte Koeffizientenmatrix
Die erweiterte Koeffizientenmatrix enthält links die Koeffizienten der Variablen und rechts vom Trennstrich die rechten Seiten der Gleichungen. Jede Gleichung wird zu einer Zeile, jede Variable zu einer Spalte.
Beispiel: Vom LGS zur Matrix
- 1LGS: x - 2y = 4, -y - z = -1, -x + y + 3z = -1
- 2In der ersten Gleichung fehlt z: Koeffizient 0
- 3Matrix: \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 \end{array}\right)
Merke: Ordne vor dem Übertragen alle Gleichungen nach derselben Variablenreihenfolge. Fehlende Variablen bekommen den Koeffizienten 0.
Teste dich
Drei Umformungen lassen die Lösungsmenge unverändert: zwei Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren oder durch sie dividieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Die Schreibweise Z_3 \leftarrow Z_3 + Z_1 bedeutet: Ersetze die dritte Zeile durch die Summe aus dritter und erster Zeile. Die anderen Zeilen bleiben unverändert. Ist ein geplanter Pivot 0, tauschst du eine tiefere Zeile mit passendem Eintrag nach oben. Du musst einen Pivot nicht auf 1 normieren. Oft vermeidest du Brüche, wenn du mit ganzen Zahlen eliminierst.
Definition
Pivot
Ein Pivot ist der erste von 0 verschiedene Eintrag einer Zeile in Stufenform. Unter jedem Pivot stehen Nullen, und von Zeile zu Zeile wandern die Pivots nach rechts.
Beispiel: Die Beispielmatrix in Stufenform bringen
- 1Erster Pivot: die 1 oben links
- 2Z_3 \leftarrow Z_3 + Z_1: \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \end{array}\right)
- 3Nächster Pivot: die -1 in Zeile 2
- 4Z_3 \leftarrow Z_3 - Z_2: \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right)
- 5Das ist eine Zeilenstufenform: Unter jedem Pivot stehen Nullen.
Teste dich
Die Stufenmatrix entspricht wieder Gleichungen: x - 2y = 4, -y - z = -1 und 4z = 4. Jetzt beginnt das Rückwärtseinsetzen in der untersten Gleichung. Jeden gefundenen Wert setzt du eine Zeile höher ein. Eine Probe im ursprünglichen LGS schützt vor Rechenfehlern. Beim Gauß-Jordan-Verfahren eliminierst du zusätzlich die Einträge oberhalb jedes Pivots und normierst die Pivots auf 1. Bei einer eindeutigen Lösung steht links dann die Einheitsmatrix, und du liest die Werte rechts direkt ab. Für das gewöhnliche Gauß-Verfahren genügt die Stufenform.
Beispiel: Rückwärtseinsetzen im Beispiel
- 14z = 4, also z = 1
- 2-y - 1 = -1, also y = 0
- 3x - 2 \cdot 0 = 4, also x = 4
- 4Probe: 4 - 2 \cdot 0 = 4, -0 - 1 = -1, -4 + 0 + 3 \cdot 1 = -1
- 5Alle drei Gleichungen stimmen: L = \{(4; 0; 1)\}
Merke: Eliminiere von oben nach unten, löse von unten nach oben und prüfe am Ende in den ursprünglichen Gleichungen.
Teste dich
Die Stufenform zeigt nicht immer drei Pivots. Achte besonders auf Zeilen, deren linke Seite nur aus Nullen besteht. Genau eine Lösung: Jede Variable hat einen Pivot, und es gibt keinen Widerspruch. So war es im Beispiel. Keine Lösung: Eine Zeile (0 \; 0 \; 0 \mid 2) bedeutet 0 = 2. Das ist unmöglich, also ist L = \varnothing. Unendlich viele Lösungen: Eine Nullzeile (0 \; 0 \; 0 \mid 0) bedeutet nur 0 = 0 und liefert keine neue Bedingung. Fehlt dadurch mindestens ein Pivot und gibt es keinen Widerspruch, darfst du eine Variable frei wählen.
Beispiel: Eine freie Variable als Parameter
- 1Stufenform: \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
- 2Wähle y = t mit t \in \mathbb R.
- 3Aus Zeile 2: -3t + z = 2, also z = 2 + 3t
- 4Aus Zeile 1: x = -t - (2 + 3t) = -4t - 2
- 5L = \{(-4t - 2;\, t;\, 2 + 3t) \mid t \in \mathbb R\}
Merke: 0 = c mit c \ne 0 bedeutet keine Lösung. Eine Zeile 0 = 0 ist nur überflüssig. Unendlich viele Lösungen gibt es erst, wenn zusätzlich eine Variable ohne Pivot frei bleibt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Gauß-Verfahren
Vorbereiten
Variablen ordnen und die erweiterte Koeffizientenmatrix bilden
Eliminieren
Pivots wählen und darunter Nullen erzeugen
Lösen
von unten nach oben einsetzen
Prüfen
die Lösung in das ursprüngliche LGS einsetzen
Lösungsfall
eindeutige Lösung, Widerspruch 0 = c oder freie Variable
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Löse x + 2y - z = 2, x + y + 2z = 9, 2x + 3y - 3z = -1
- 1Matrix: \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 3 & -3 & -1 \end{array}\right)
- 2Z_2 \leftarrow Z_2 - Z_1 und Z_3 \leftarrow Z_3 - 2Z_1: \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 7 \\ 0 & -1 & -1 & -5 \end{array}\right)
- 3Z_3 \leftarrow Z_3 - Z_2: \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & -4 & -12 \end{array}\right)
- 4Rückwärts: -4z = -12, also z = 3
- 5-y + 3 \cdot 3 = 7, also y = 2, und x + 2 \cdot 2 - 3 = 2, also x = 1
- 6Probe: 1 + 2 \cdot 2 - 3 = 2, 1 + 2 + 2 \cdot 3 = 9, 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = -1, also L = \{(1; 2; 3)\}
Fehler finden
Löse x + y = 5 und 2x + 3y = 13 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Auch die rechte Seite muss das Doppelte abziehen: 13 - 2 \cdot 5 = 3. Die Zeile lautet (0, 1 \mid 3), also y = 3 und x = 2. Probe: 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
In der Zeilenstufenform stehen unter jedem Pivot . Eine Zeile, die 0 = 2 bedeutet, zeigt: Das LGS hat . Nach der Elimination löst du von .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback