Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Ganzrationale Funktionen erkennen und untersuchen
Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzen von x. Du lernst, Grad, Symmetrie und Randverhalten abzulesen und Nullstellen zu berechnen.
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Kurz gesagt
Eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) ist eine endliche Summe von Termen a_kx^k mit reellen Koeffizienten und Exponenten 0, 1, 2, … Ein Beispiel ist f(x) = 2x^4 - \frac12x + 1. Der höchste Exponent ist ihr Grad, sein Koeffizient der Leitkoeffizient. Beide bestimmen das Randverhalten.
Eine ganzrationale Funktion besteht aus endlich vielen Potenztermen mit reellen Koeffizienten und nichtnegativen ganzzahligen Exponenten. Lineare und quadratische Funktionen kennst du schon, sie gehören auch dazu. Hier lernst du, an einem Term Grad, Symmetrie, Randverhalten und Nullstellen zu erkennen und aus Nullstellen selbst einen Term aufzustellen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynomfunktionen. Ihre allgemeine Form lautet f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0. Die Koeffizienten a_0, \ldots, a_n sind reelle Zahlen, die Exponenten von x sind 0, 1, 2, 3, … Für den Grad n muss a_n \ne 0 gelten. Beispiele sind 2x^4 - \frac12x + 1, \sqrt2x^2 - \pi x^7 und die konstante Funktion f(x) = -2{,}3. Auch \sqrt2 oder \pi dürfen Koeffizienten sein. Keine ganzrationalen Funktionen sind \frac1x + x (x im Nenner), \sqrt{x-1} (Wurzel mit x), e^{2x} (x im Exponenten) und \sin(x). Der Grad ist der höchste Exponent mit einem Koeffizienten ungleich null, dessen Koeffizient heißt Leitkoeffizient. Grad 0 ist eine konstante, Grad 1 eine lineare, Grad 2 eine quadratische Funktion. Der Definitionsbereich jeder ganzrationalen Funktion ist \mathbb R.
Definition
Ganzrationale Funktion
Eine ganzrationale Funktion ist eine endliche Summe von Potenztermen a_kx^k mit reellen Koeffizienten a_k und nichtnegativen ganzzahligen Exponenten k.
Beispiel: Grad und Koeffizienten von f(x) = -2x^3 - \frac12x + 4
- 1Der fehlende x^2-Term zählt als 0x^2.
- 2Grad 3, Leitkoeffizient -2
- 3a_2 = 0, a_1 = -\frac12, absolutes Glied a_0 = 4
- 4y-Achsenabschnitt: f(0) = 4, also S_y(0 \mid 4)
Teste dich
Für die Symmetrie setzt du -x in den Funktionsterm ein. Gilt f(-x) = f(x), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse: In der vereinfachten Form kommen nur gerade Exponenten vor. Gilt f(-x) = -f(x), ist er punktsymmetrisch zum Ursprung: Es kommen nur ungerade Exponenten vor, das absolute Glied ist null. Mischen sich gerade und ungerade Exponenten, liegt im Allgemeinen keine der beiden Symmetrien vor. Für große Beträge von x bestimmt der führende Term a_nx^n das Randverhalten.
Beispiel: Symmetrie von f(x) = 8x^3 - 8x
- 1f(-x) = 8 \cdot (-x)^3 - 8 \cdot (-x)
- 2= -8x^3 + 8x = -f(x)
- 3Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
| Grad | Leitkoeffizient | linkes Ende | rechtes Ende |
|---|---|---|---|
| gerade | positiv | oben | oben |
| gerade | negativ | unten | unten |
| ungerade | positiv | unten | oben |
| ungerade | negativ | oben | unten |
Merke: Der Grad entscheidet, ob die beiden Enden in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmt die genaue Richtung.
Teste dich
Eine Zahl x_0 ist eine Nullstelle, wenn f(x_0) = 0 gilt. Eine Funktion vom Grad n hat höchstens n verschiedene reelle Nullstellen, bei ungeradem Grad mindestens eine. Wähle das Verfahren passend zur Form des Terms. Fehlt das absolute Glied, klammere eine Potenz von x aus. Liegt ein Produkt vor, nutze den Satz vom Nullprodukt. Enthält eine Gleichung vierten Grades nur x^4, x^2 und eine Konstante, substituiere z = x^2. Kennst du bei höherem Grad schon eine Nullstelle x_0, senkt eine Polynomdivision durch (x - x_0) den Grad.
Beispiel: Nullstellen von f(x) = 8x^3 - 8x
- 1Ansatz: 8x^3 - 8x = 0
- 2x ausklammern: x \cdot (8x^2 - 8) = 0
- 3Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder 8x^2 - 8 = 0
- 4Aus 8x^2 = 8 folgt x^2 = 1, also x = -1 oder x = 1.
- 5Nullstellen: -1, 0 und 1
Beispiel: Substitution bei x^4 + 2x^2 - 8 = 0
- 1Mit z = x^2: z^2 + 2z - 8 = 0
- 2Faktorisiert: (z - 2) \cdot (z + 4) = 0, also z = 2 oder z = -4
- 3Zurück zu x: x^2 = 2 liefert x = \pm\sqrt2.
- 4x^2 = -4 hat keine reelle Lösung.
- 5Die reellen Nullstellen sind -\sqrt2 und \sqrt2.
Teste dich
Eine Nullstelle r erzeugt den Faktor (x - r). Bei einer mehrfachen Nullstelle kommt dieser Faktor entsprechend oft vor. Einen zusätzlichen Streckfaktor a bestimmst du mit einem bekannten Punkt. Bei einer zur y-Achse symmetrischen Funktion treten Nullstellen ungleich 0 paarweise auf: Ist r eine Nullstelle, dann auch -r. Manche Veränderungen erhalten die Nullstellen: g(x) = c \cdot f(x) mit c \ne 0 und g(x) = [f(x)]^2 haben dieselben Nullstellen wie f. Bei g(x) = f(x) + c wird der Graph senkrecht verschoben, die Nullstellen können sich ändern.
Beispiel: Grad 3 mit den Nullstellen -2, 1, 3 und dem Punkt P(0 \mid 3)
- 1Ansatz: f(x) = a \cdot (x + 2)(x - 1)(x - 3)
- 2Punkt einsetzen: 3 = a \cdot (0 + 2)(0 - 1)(0 - 3) = 6a
- 3Also a = \frac12 und f(x) = \frac12 (x + 2)(x - 1)(x - 3)
- 4Punktprobe: \frac12 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-3) = 3
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ganzrationale Funktionen
Erkennen
nur nichtnegative ganzzahlige Exponenten, definiert für alle reellen x
Beschreiben
Grad, Leitkoeffizient und y-Achsenabschnitt
Untersuchen
Symmetrie über f(−x), Randverhalten über den führenden Term
Nullstellen
Ausklammern, Nullprodukt, Substitution oder Polynomdivision
Rekonstruieren
Nullstellenfaktoren ansetzen, Streckfaktor mit einer Punktprobe
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Untersuche f(x) = x^4 - 5x^2 + 4
- 1Grad 4, Leitkoeffizient 1: Beide Enden zeigen nach oben.
- 2Nur gerade Exponenten: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- 3y-Achsenabschnitt: f(0) = 4, also S_y(0 \mid 4)
- 4Substitution z = x^2: z^2 - 5z + 4 = 0, also (z - 1)(z - 4) = 0
- 5z = 1 oder z = 4, also x^2 = 1 oder x^2 = 4
- 6Nullstellen: -2, -1, 1 und 2
Fehler finden
Nullstellen von f(x) = 2x^3 - 18x In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Durch x teilen ist nur erlaubt, wenn x \ne 0 ist. So geht die Nullstelle 0 verloren. Klammere stattdessen aus: 2x \cdot (x^2 - 9) = 0, also x = 0, x = -3 oder x = 3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für g(x) = 5x^4 - x^3 + x ist der Grad , der Leitkoeffizient ist und der y-Achsenabschnitt lautet .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback