Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Histogramm erstellen und richtig interpretieren
Ein Histogramm zeigt, wie sich Messwerte auf Klassen verteilen. Du lernst, es mit Häufigkeitsdichten zu zeichnen und Flächen richtig zu deuten.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Histogramm stellt klassierte Daten durch aneinandergrenzende Rechtecke dar. Die Breite ist die Klassenbreite, die Fläche die Häufigkeit der Klasse. Die Höhe ist deshalb die Häufigkeitsdichte h_i = \frac{n_i}{b_i}, etwa 5 Personen : 10 Jahre = 0,5 Personen pro Jahr.
Ein Histogramm zeigt die Verteilung klassierter Daten. Entscheidend ist die Fläche jedes Rechtecks: Sie stellt die Häufigkeit der Klasse dar. Die Höhe allein genügt nur bei gleich breiten Klassen zum direkten Vergleich.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Bei vielen Messwerten wird eine Liste schnell unübersichtlich. Deshalb fasst du benachbarte Werte zu Klassen zusammen, zum Beispiel „20 bis unter 30 Jahre“. Die 20 gehört dann zu dieser Klasse, die 30 schon zur nächsten. Anders als beim Säulendiagramm liegt auf der x-Achse eine geordnete Werteskala, und die Rechtecke grenzen direkt aneinander. So gehst du vor: Teile den Wertebereich in Klassen ein. Bestimme für jede Klasse die Klassenbreite b_i und zähle die Häufigkeit n_i. Berechne die Häufigkeitsdichte h_i. Trage auf der x-Achse die Klassengrenzen ein und auf der y-Achse die Dichte. Zeichne über jeder Klasse ein Rechteck mit der Breite b_i und der Höhe h_i.
Definition
Histogramm
Ein Histogramm stellt die Häufigkeitsverteilung klassierter Daten durch direkt aneinandergrenzende Rechtecke dar. Die Breite eines Rechtecks entspricht der Klassenbreite, seine Fläche der Klassenhäufigkeit.
| Alter in Jahren | Breite | Häufigkeit | Dichte |
|---|---|---|---|
| 0 bis unter 10 | 10 | 2 | 0,2 |
| 10 bis unter 20 | 10 | 5 | 0,5 |
| 20 bis unter 30 | 10 | 3 | 0,3 |
| 30 bis unter 40 | 10 | 6 | 0,6 |
| 40 bis unter 50 | 10 | 4 | 0,4 |
Merke: Breite × Höhe = Fläche = Häufigkeit. Sind alle Klassen gleich breit wie hier bei 20 Personen, gehört das höchste Rechteck auch zur häufigsten Klasse.
Teste dich
Die Fläche soll die Häufigkeit zeigen: b_i \cdot h_i = n_i. Stellst du nach der Höhe um, erhältst du die Häufigkeitsdichte h_i = \frac{n_i}{b_i}. Ihre Einheit ist zum Beispiel „Personen pro Jahr“. Mit der Fläche kontrollierst du jedes Rechteck: Für die Klasse 30 bis unter 40 Jahre gilt 10 · 0,6 = 6, das sind genau die 6 Personen. Bei einem relativen Histogramm zeigt jede Fläche den Anteil an allen N Beobachtungen: h_{i,\mathrm{rel}} = \frac{n_i}{N \cdot b_i}. Alle Flächen ergeben dann zusammen 1, also 100 %. Beim absoluten Histogramm ergeben sie zusammen N.
Beispiel: Zehn Wartezeiten in Minuten: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14
- 1Klassen: 0 bis unter 5, 5 bis unter 10, 10 bis unter 15 Minuten, jede 5 Minuten breit
- 2Häufigkeiten: 3, 3 und 4
- 3Dichten: 3 : 5 = 0,6, 3 : 5 = 0,6 und 4 : 5 = 0,8 Werte pro Minute
- 4Kontrolle: 5 · 0,6 = 3, 5 · 0,6 = 3 und 5 · 0,8 = 4
Teste dich
Sind die Klassen verschieden breit, darfst du die Häufigkeiten nicht einfach als Höhen nehmen. Ein breites Rechteck bekäme sonst allein wegen seiner Breite zu viel Fläche. Ein hohes Rechteck ist deshalb nicht automatisch ein häufiges. Auch Zahl, Breite und Lage der Klassen verändern die Form: Sehr breite Klassen verdecken Unterschiede, sehr schmale machen das Bild unruhig. Prüfe deshalb bei jedem Histogramm: Welche Werte umfasst jede Klasse? Sind die Klassen gleich breit? Zeigt die Fläche absolute Häufigkeiten oder Anteile? Sind die Achsen richtig beschriftet?
| Klasse | Geburtsjahre | Breite | Häufigkeit | Dichte |
|---|---|---|---|---|
| Babyboomer | 1955 bis unter 1970 | 15 | 3 | 0,2 |
| Generation X | 1970 bis unter 1980 | 10 | 7 | 0,7 |
| Generation Y | 1980 bis unter 2000 | 20 | 10 | 0,5 |
Merke: Bei verschieden breiten Klassen vergleichst du die Flächen, nicht die Höhen. Generation X hat das höchste Rechteck, die meisten Personen hat aber Generation Y: 20 · 0,5 = 10.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Histogramm
Aufbau
aneinandergrenzende Rechtecke über Klassen einer Werteskala
Fläche
Breite mal Höhe ergibt die Häufigkeit der Klasse
Dichte
Häufigkeit geteilt durch Klassenbreite
Gleiche Breiten
Höhen dürfen direkt verglichen werden
Verschiedene Breiten
Flächen vergleichen, nicht Höhen
Klasseneinteilung
verändert, wie das Histogramm wirkt
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Taschengeld von 18 Kindern als Histogramm
- 1Daten: 4 Kinder bekommen 0 bis unter 10 €, 8 Kinder 10 bis unter 20 €, 6 Kinder 20 bis unter 50 €
- 2Klassenbreiten: 10 €, 10 € und 30 €
- 3Dichten: 4 : 10 = 0,4, 8 : 10 = 0,8 und 6 : 30 = 0,2 Kinder pro Euro
- 4Kontrolle: 10 · 0,4 + 10 · 0,8 + 30 · 0,2 = 4 + 8 + 6 = 18
- 5Das Rechteck für 20 bis unter 50 € ist breit, aber nur 0,2 hoch. Seine Fläche zeigt die 6 Kinder.
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Welche Klasse ist häufiger? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Die Höhe zeigt nur die Dichte. Die Häufigkeit ist die Fläche: 10 · 0,6 = 6 und 40 · 0,3 = 12. Die zweite Klasse ist also doppelt so häufig.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Häufigkeit einer Klasse zeigt die des Rechtecks. Die Häufigkeitsdichte ist Häufigkeit Klassenbreite. Bei verschieden breiten Klassen vergleichst du die .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
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