Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Gleichseitiges Dreieck: Eigenschaften und Formeln
Drei gleiche Seiten, drei Winkel von 60°: Du lernst, die Höhenformel herzuleiten, Umfang und Fläche zu berechnen und das Dreieck zu konstruieren.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten a und drei Innenwinkel von je 60°. Für den Umfang gilt U = 3a, für die Höhe h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a und für den Flächeninhalt A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2.
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Deshalb sind auch seine drei Innenwinkel gleich groß: Jeder Winkel misst 60^\circ. Hier lernst du, ein gleichseitiges Dreieck sicher zu erkennen, seine Höhe herzuleiten sowie Umfang und Fläche zu berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Dreieck ist gleichseitig, wenn alle drei Seiten dieselbe Länge haben: a = b = c. Daraus folgt, dass auch alle drei Innenwinkel gleich groß sind. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°, also misst jeder Winkel 180° : 3 = 60°. Das Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Jede verläuft durch eine Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite. Auch eine Drehung um den Mittelpunkt um 120° oder 240° bildet es auf sich selbst ab. Ein gleichseitiges Dreieck ist immer auch gleichschenklig. Umgekehrt ist aber nicht jedes gleichschenklige Dreieck gleichseitig.
Definition
Gleichseitiges Dreieck
Ein gleichseitiges oder regelmäßiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten und drei Innenwinkel von jeweils 60°.
Merke: Drei gleich lange Seiten, drei Winkel von 60° und drei Symmetrieachsen gehören zusammen.
Teste dich
Eine Höhe steht senkrecht auf einer Seite und führt zur gegenüberliegenden Ecke. Im gleichseitigen Dreieck halbiert jede Höhe zugleich die Seite, auf der sie steht. Zeichnest du die Höhe h ein, entstehen zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. In jedem ist die Seite a die Hypotenuse, die Katheten sind \frac{a}{2} und h. Mit dem Satz des Pythagoras gilt h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2. Stellst du nach h um, erhältst du h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}. Da eine Länge positiv ist, folgt: h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a Alle drei Höhen sind gleich lang. Jede Höhe ist zugleich Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte und Symmetrieachse.
Beispiel: Höhe bei a = 4\,\mathrm{cm}
- 1h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3}
- 2h \approx 3{,}46\,\mathrm{cm}
- 3Plausibel: Die Höhe ist etwas kürzer als die Seite.
Teste dich
Der Umfang ist die Summe aller Seiten. Weil alle drei gleich lang sind, gilt U = 3a. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist Grundseite mal Höhe durch 2: A = \frac{a \cdot h}{2}. Setzt du h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ein, erhältst du die direkte Formel: A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 Rechne möglichst lange mit \sqrt{3} und runde erst das Endergebnis. Rundest du die Höhe zu früh, weicht das Ergebnis leicht ab.
Beispiel: Umfang und Fläche bei a = 4\,\mathrm{cm}
- 1U = 3 · 4 cm = 12 cm
- 2A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = 4\sqrt{3}
- 3A ≈ 6,93 cm²
- 4Kontrolle mit h \approx 3{,}46\,\mathrm{cm}: 4 cm · 3,46 cm : 2 ≈ 6,92 cm², die kleine Abweichung kommt vom Runden der Höhe.
Merke: Der Umfang hat eine Längeneinheit wie cm. Der Flächeninhalt hat eine Flächeneinheit wie cm². In der Flächenformel steht a^2, nicht a.
Teste dich
Ist eine Seite vorgegeben, konstruierst du das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne die Strecke \overline{AB} mit der vorgegebenen Länge. Zeichne einen Kreis um A mit dem Radius \overline{AB} und mit demselben Radius einen Kreis um B. Wähle einen Schnittpunkt der Kreise als Punkt C und verbinde C mit A und B. Weil C auf beiden Kreisen liegt, sind \overline{AC} und \overline{BC} so lang wie \overline{AB}. Die Kreise haben zwei Schnittpunkte, einen auf jeder Seite der Strecke. Es gibt also zwei spiegelbildliche Lösungen. Im fertigen Dreieck schneiden sich alle Höhen, Seitenhalbierenden, Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten in einem Punkt. Er ist Schwerpunkt und Mittelpunkt von Inkreis und Umkreis.
Beispiel: Konstruktion mit \overline{AB} = 5\,\mathrm{cm}
- 1Strecke \overline{AB} = 5\,\mathrm{cm} zeichnen.
- 2Zirkel auf 5 cm einstellen, Kreise um A und um B zeichnen.
- 3Schnittpunkt C markieren und mit A und B verbinden.
- 4Ergebnis: \overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC} = 5\,\mathrm{cm}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Gleichseitiges Dreieck
Erkennen
drei gleiche Seiten und drei Winkel von 60°
Symmetrie
drei Achsen und Drehungen um 120°
Berechnen
U = 3a, h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a, A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2
Konstruieren
zwei Kreise mit der vorgegebenen Seite als Radius
Prüfen
Einheiten beachten und erst am Ende runden
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein gleichseitiges Dreieck hat den Umfang 24 m. Berechne Seite, Höhe und Fläche.
- 1Aus U = 3a folgt a = 24 m : 3 = 8 m
- 2h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 4\sqrt{3}, also h \approx 6{,}93\,\mathrm{m}
- 3A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = 16\sqrt{3}
- 4A ≈ 27,71 m²
- 5Plausibel: Die Höhe ist kürzer als die Seite von 8 m.
Fehler finden
Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit a = 6 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Quadrieren heißt mit sich selbst malnehmen, nicht verdoppeln: 6^2 = 36. Dann ist A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Umfang werden gleich lange Seiten addiert. Die Höhe entsteht aus einem Teildreieck. Ein Flächeninhalt wird in einer angegeben.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback