Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Gleichungen verstehen und sicher lösen
Was ist eine Gleichung, was ihre Lösung? Du lernst den Grad zu erkennen und lineare Gleichungen mit Umformungen und Probe sicher zu lösen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen, zum Beispiel 2x + 1 = 7. Eine Lösung ist ein Wert, der die Gleichung wahr macht, hier x = 3. Lineare Gleichungen löst du mit Äquivalenzumformungen: Du rechnest auf beiden Seiten dasselbe, bis die Variable allein steht.
Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Beim Lösen suchst du Werte für die Variable, bei denen beide Seiten denselben Wert haben.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine Waage vor: Das Gleichheitszeichen sagt, dass links und rechts derselbe Wert steht. In 2x + 1 = 7 ist x die Variable. Setzt du x = 3 ein, erhältst du links 2 · 3 + 1 = 7. Die linke Seite stimmt also mit der rechten überein. Bei einfachen Gleichungen kannst du Werte ausprobieren. Bei schwierigeren ist systematisches Umformen schneller und zuverlässiger.
Definition
Gleichung
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Sie kann eine oder mehrere Variablen enthalten.
Definition
Lösung
Ein Wert ist eine Lösung, wenn er beim Einsetzen die Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Alle Lösungen bilden die Lösungsmenge, bei 2x + 1 = 7 ist das L = \{3\}.
Teste dich
Der Grad richtet sich nach der höchsten Potenz der Variablen. Eine Gleichung vom Grad 1 heißt linear, vom Grad 2 quadratisch, vom Grad 3 kubisch. Auf dieser Seite löst du lineare Gleichungen. In ihnen kommt die Variable höchstens in der ersten Potenz vor. Für quadratische Gleichungen brauchst du später andere Verfahren.
| Gleichung | höchste Potenz | Grad |
|---|---|---|
| 3x + 4 = 4(x - 9) | x | 1, linear |
| 3x^2 + 7x - 1 = 4 | x^2 | 2, quadratisch |
| 5x^3 + 125 = x^2 - 7 | x^3 | 3, kubisch |
Merke: Linear bedeutet: Die höchste Potenz der Variablen ist 1.
Teste dich
Eine Äquivalenzumformung verändert die Form einer Gleichung, aber nicht ihre Lösungen. Du darfst auf beiden Seiten denselben Term addieren oder subtrahieren, beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren und beide Seiten durch dieselbe Zahl teilen, die nicht 0 ist. Durch 0 darfst du nie teilen. Diese Reihenfolge hilft dir: 1. Klammern auflösen. 2. Gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen. 3. Alle Terme mit x auf eine Seite bringen. 4. Alle Zahlen auf die andere Seite bringen. 5. Durch die Zahl vor dem x teilen. 6. Lösungsmenge notieren und prüfen.
Beispiel: 4x - 3 = 9x + 22 lösen
- 14x - 3 = 9x + 22
- 2| +3: 4x = 9x + 25
- 3| −9x: -5x = 25
- 4| :(−5): x = -5
- 5L = \{-5\}
Merke: Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen Seite tun.
Teste dich
Brüche vor der Variablen ändern das Verfahren nicht. Fasse die Brüche sorgfältig zusammen und rechne möglichst lange mit exakten Brüchen statt mit gerundeten Dezimalzahlen. Zum Schluss prüfst du: Du setzt die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und rechnest beide Seiten getrennt aus. Nur wenn beide denselben Wert ergeben, stimmt die Lösung.
Beispiel: 2x - 14 = \frac{1}{2}x + 3 lösen
- 1| -\frac{1}{2}x: \frac{3}{2}x - 14 = 3
- 2| +14: \frac{3}{2}x = 17
- 3| \cdot \frac{2}{3}: x = \frac{34}{3}
- 4Probe links: 2 \cdot \frac{34}{3} - 14 = \frac{26}{3}
- 5Probe rechts: \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{3} + 3 = \frac{26}{3}
- 6Beide Seiten sind gleich, also L = \{\frac{34}{3}\}.
Merke: Eine Probe bestätigt die Lösung nur, wenn nach dem Einsetzen beide Seiten denselben Wert haben.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Gleichungen
Bedeutung
Zwei Terme haben denselben Wert
Lösung
Einsetzen ergibt eine wahre Aussage
Grad
die höchste Potenz der Variablen, linear heißt Grad 1
Äquivalenzumformung
beide Seiten gleich behandeln, nie durch 0 teilen
Vorgehen
Klammern auflösen, zusammenfassen, Variable isolieren
Kontrolle
Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
2(3x + 4) = 10x - 4 lösen
- 1Klammer auflösen: 6x + 8 = 10x - 4
- 2| −10x: -4x + 8 = -4
- 3| −8: -4x = -12
- 4| :(−4): x = 3
- 5Probe: links 2 \cdot (3 \cdot 3 + 4) = 26, rechts 10 \cdot 3 - 4 = 26
- 6L = \{3\}
Fehler finden
3x + 4 = 7x - 8 lösen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Beim Teilen durch -4 wurde das Vorzeichen falsch: -12 : (-4) = 3, also x = 3. Probe: 3 \cdot 3 + 4 = 13 und 7 \cdot 3 - 8 = 13.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Lösung macht die Gleichung zu einer Aussage. Bei einer linearen Gleichung ist die höchste Potenz der Variablen . Bei einer Äquivalenzumformung rechnest du auf Seiten dasselbe.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback