Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Laplace-Experiment: Wahrscheinlichkeit berechnen
Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Du lernst, das zu prüfen und Wahrscheinlichkeiten durch Zählen zu berechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit endlich vielen, gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, zum Beispiel ein idealer Würfel. Dann gilt P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}, also günstige durch mögliche Ergebnisse: Eine gerade Zahl würfelst du mit P=\frac36=\frac12.
Bei einem Laplace-Experiment sind alle elementaren Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Dann darfst du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Zählen berechnen: günstige Ergebnisse geteilt durch alle möglichen Ergebnisse.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen Ausgang du nicht sicher vorhersagen kannst. Die möglichen Ausgänge heißen Ergebnisse. Ein idealer Würfel ist ein Laplace-Modell: Die Augenzahlen 1 bis 6 gelten als gleich wahrscheinlich. Auch ein Glücksrad mit sechs gleich großen Sektoren passt dazu. Eine Reißzwecke dagegen nicht: Wegen ihrer Form sind ihre Lagen nicht automatisch gleich wahrscheinlich. Ebenso wenig ein Glücksrad mit verschieden großen Sektoren. Bei echten Würfeln, Münzen oder Karten nimmst du die Gleichwahrscheinlichkeit als Modell an. Das ist plausibel, wenn Bauart und Durchführung kein Ergebnis bevorzugen. „Es gibt drei Möglichkeiten“ reicht als Begründung nicht: Die Laplace-Formel ist kein Test für Gleichwahrscheinlichkeit, sondern setzt sie voraus.
Definition
Laplace-Experiment
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit endlich vielen elementaren Ergebnissen, die alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. „Elementar“ bedeutet: Die Ergebnisse sind so fein beschrieben, dass du keines davon für die Rechnung weiter zerlegen musst.
Merke: Zähle erst dann „günstige durch mögliche“, wenn du die Gleichwahrscheinlichkeit der elementaren Ergebnisse begründet hast.
Teste dich
Der Ergebnisraum \Omega enthält alle elementaren Ergebnisse. Ein Ereignis A ist eine Auswahl daraus. |A| ist die Anzahl der Ergebnisse in A, |\Omega| die Anzahl aller Ergebnisse. Gehe so vor: Lege \Omega fest und prüfe, ob die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Beschreibe das Ereignis A und zähle |A| und |\Omega|. Berechne dann P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} und prüfe, ob das Ergebnis zwischen 0 und 1 liegt, also zwischen 0 % und 100 %.
Beispiel: Gerade Zahl mit einem idealen Würfel
- 1\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, also |\Omega|=6
- 2A=\{2,4,6\}, also |A|=3
- 3Die sechs Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich: Laplace-Formel
- 4P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\,\%
Beispiel: Einen Buben aus 32 Skatkarten ziehen
- 1Gut gemischt: Jede der 32 Karten ist gleich wahrscheinlich, |\Omega|=32
- 2Es gibt vier Buben, also |A|=4
- 3P(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0{,}125=12{,}5\,\%
Teste dich
Bei zwei unterscheidbaren Würfeln sind die geordneten Paare die elementaren Ergebnisse: (2,5) und (5,2) sind verschiedene Paare. Es gibt 6\cdot6=36 gleich wahrscheinliche Paare. Die Augensummen 2 bis 12 sind dagegen nicht gleich wahrscheinlich, denn jede Summe fasst unterschiedlich viele Paare zusammen. Genauso bei zwei Münzen: KK, KZ, ZK und ZZ sind gleich wahrscheinlich, die Kategorie „einmal Kopf, einmal Zahl“ enthält aber zwei davon. Das Gegenereignis \overline A enthält alle Ergebnisse, die nicht zu A gehören. Zusammen decken A und \overline A den ganzen Ergebnisraum ab, deshalb gilt P(\overline A)=1-P(A). Das hilft, wenn das Gegenteil leichter zu zählen ist.
Beispiel: Pasch und Augensumme 9 mit zwei Würfeln
- 1Pasch: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), also 6 von 36 Paaren
- 2P(\text{Pasch})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%
- 3Summe 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), also 4 von 36 Paaren
- 4P(\text{Summe }9)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx11{,}1\,\%
Beispiel: Glücksrad mit zehn gleich großen Sektoren, vier davon rot
- 1P(\text{Rot})=\frac{4}{10}=0{,}4=40\,\%
- 2Gegenereignis „nicht Rot“: 1-0{,}4=0{,}6=60\,\%
- 3Probe durch Zählen: 6 nicht rote Sektoren, \frac{6}{10}=60\,\%
Teste dich
Alles auf einen Blick
Laplace-Experiment
Voraussetzung
endlich viele gleich wahrscheinliche elementare Ergebnisse
Beschreiben
Ergebnisraum \Omega und Ereignis A
Zählen
|\Omega| und |A|
Berechnen
P(A)=|A|/|\Omega|
Vereinfachen
Gegenereignis mit 1-P(A)
Prüfen
Kategorien und Modellannahmen hinterfragen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Glücksrad mit acht gleich großen Feldern (1 bis 8): Zahl durch 3 teilbar
- 1\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, also |\Omega|=8
- 2Gleich große Felder: Die Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich
- 3A=\{3,6\}, also |A|=2
- 4P(A)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=25\,\%
Fehler finden
Augensumme 7 mit zwei Würfeln In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die elf Summen sind nicht gleich wahrscheinlich. Elementar sind die 36 Würfelpaare, und 6 davon ergeben 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Also P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim idealen Würfel ist |\Omega| gleich . Zum Ereignis „gerade Zahl“ gehören . Deshalb ist P(A) gleich .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback