Lineare Funktionen: Steigung, Graph und Gleichung

Eine Funktion ordnet jedem erlaubten x-Wert genau einen Funktionswert f(x) zu, auch y genannt. Setzt du x=0 ein, bleibt f(0)=b. Die Gerade schneidet die y-Achse also im Punkt (0|b). Bei f(x)=2x-1 ist m=2: Wächst x um 1, wächst f(x) um 2. Und b=-1: Die Gerade schneidet die y-Achse bei (0|-1). Das Vorzeichen von m zeigt die Richtung: Bei m>0 steigt die Gerade, bei m<0 fällt sie, bei m=0 ist sie waagerecht. Ist b=0, geht die Gerade durch den Ursprung. Das ist eine direkte Proportionalität, etwa ein Preis ohne Grundgebühr. Zum Zeichnen reichen zwei Punkte: Starte bei (0|b) und gehe dann mit dem Steigungsdreieck m=\frac{\Delta y}{\Delta x} weiter. Du darfst das Dreieck auch rückwärts gehen: Bei f(x)=-\frac12x+3 führen zwei Schritte nach links und einer nach oben zu (-2|4). Eine senkrechte Gerade wie x=2 ist kein Graph einer Funktion: Zu einem x-Wert gehörten unendlich viele y-Werte.

Sind zwei Punkte P(x_1|y_1) und Q(x_2|y_2) gegeben, berechnest du zuerst die Steigung: m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} Ziehe oben und unten in derselben Reihenfolge ab. Außerdem muss x_1\ne x_2 gelten, sonst entsteht eine senkrechte Gerade. Dann setzt du einen Punkt in y=mx+b ein und löst nach b auf. Mit einer Punktprobe prüfst du, ob ein Punkt auf der Geraden liegt: Setze seine x-Koordinate ein und vergleiche mit seiner y-Koordinate. Für f(x)=2x+1 liegt (2|5) auf der Geraden, denn f(2)=2\cdot2+1=5. Der Punkt (2|4) liegt nicht darauf, weil 4\ne5.

Eine Nullstelle ist ein x-Wert mit f(x)=0. Der Punkt (x_0|0) liegt auf der x-Achse. Sonderfälle: f(x)=c mit c\ne0 hat keine Nullstelle, und bei f(x)=0 ist jeder x-Wert eine Nullstelle. Zwei Geraden können sich schneiden, echt parallel sein oder identisch sein. Sind die Steigungen verschieden, gibt es genau einen Schnittpunkt. Bei gleicher Steigung und verschiedenen y-Achsenabschnitten sind sie echt parallel. Stimmt beides überein, sind sie identisch. Für den Schnittpunkt setzt du die Funktionsterme gleich, denn dort haben beide Funktionen beim selben x-Wert denselben y-Wert. Bei g(x)=3x-2 und h(x)=3x+1 bleibt nach dem Abziehen von 3x die falsche Aussage -2=1, ein Widerspruch. Das ist kein Rechenfehler: Die Geraden sind echt parallel.

Eine Sachsituation lässt sich linear modellieren, wenn sich eine Größe bei gleichen Schritten der anderen immer um denselben Betrag ändert. Dann ist m die Änderung pro Einheit, mit ihrer Einheit, und b der Anfangswert bei x=0. Zwei Tarife vergleichen: Tarif A kostet 5\,€ Grundgebühr und 0{,}10\,€ pro Minute, also A(x)=5+0{,}10x. Tarif B kostet 2\,€ Grundgebühr und 0{,}15\,€ pro Minute, also B(x)=2+0{,}15x. Für den gleichen Preis setzt du die Terme gleich: 5+0{,}10x=2+0{,}15x ergibt 3=0{,}05x, also x=60. Bei 60 Minuten kosten beide 11\,€. Darunter ist Tarif B günstiger, darüber Tarif A.