Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Höhe im Dreieck: konstruieren und berechnen
Jedes Dreieck hat drei Höhen. Du lernst, sie den Seiten zuzuordnen, sie zu konstruieren, den Höhenschnittpunkt zu finden und Höhen zu berechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Höhe im Dreieck ist das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung. Die Höhe h_a geht durch den Eckpunkt A und steht senkrecht auf der Seite a. Aus Flächeninhalt und Grundseite berechnest du sie mit Höhe = 2 · Flächeninhalt : Grundseite, etwa 2 · 15 cm² : 6 cm = 5 cm.
Eine Höhe verläuft durch einen Eckpunkt und senkrecht zur gegenüberliegenden Seite oder zu deren Verlängerung. Jedes Dreieck hat drei Höhen. Du brauchst sie vor allem, um den Flächeninhalt zu bestimmen und den Höhenschnittpunkt zu finden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Betrachte ein Dreieck ABC. Die Seite a liegt dem Eckpunkt A gegenüber, b liegt gegenüber von B und c gegenüber von C. Der Schnittpunkt einer Höhe mit ihrer Seitengeraden heißt Höhenfußpunkt. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann er außerhalb der eigentlichen Seite liegen. Deshalb sagt man genauer „Seitengerade“ statt nur „Seite“.
Definition
Höhe
Die Höhe h_a ist das Lot durch A auf die Seitengerade a. Lot bedeutet: Höhe und Seitengerade bilden einen Winkel von 90°. Entsprechend verläuft h_b durch B und h_c durch C.
Merke: Der Index verbindet Seite und Höhe: Zu a gehört h_a, zu b gehört h_b, zu c gehört h_c. Die Höhe geht durch den Eckpunkt mit demselben Großbuchstaben.
Teste dich
Du möchtest h_a zeichnen, also die Senkrechte durch A auf die Seitengerade a. Die Schritte stehen in der Tabelle. Warum klappt das Verfahren? A und der zweite Schnittpunkt R haben jeweils gleichen Abstand zu P und Q. Die Gerade AR ist deshalb die Mittelsenkrechte von PQ und steht senkrecht auf a. Für h_b und h_c wiederholst du das Verfahren vom jeweiligen Eckpunkt aus. Vorsicht: Eine Höhe ist keine Mittelsenkrechte des Dreiecks. Die Höhe geht durch einen Eckpunkt, die Mittelsenkrechte durch die Mitte einer Seite. Nur in besonderen Dreiecken fallen beide zusammen.
| Schritt | Was du tust |
|---|---|
| 1 | Verlängere a bei Bedarf zu einer Geraden. |
| 2 | Zeichne um A einen Kreisbogen, der die Seitengerade a in zwei Punkten P und Q schneidet. |
| 3 | Zeichne mit gleicher Zirkelöffnung Bögen um P und um Q. Sie schneiden sich in A und in einem zweiten Punkt R. |
| 4 | Die Gerade durch A und R ist die Höhe h_a. |
Teste dich
Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. Zum Zeichnen genügen zwei Höhen: Ihr Schnittpunkt ist H, die dritte Höhe geht ebenfalls hindurch. Wo H liegt, hängt von der Dreiecksart ab. Beim stumpfwinkligen Dreieck musst du zwei Seitengeraden verlängern, damit du H überhaupt findest.
| Dreiecksart | Lage von H |
|---|---|
| spitzwinklig: alle Winkel kleiner als 90° | im Inneren des Dreiecks |
| rechtwinklig | am Eckpunkt des rechten Winkels |
| stumpfwinklig: ein Winkel größer als 90° | außerhalb des Dreiecks |
Beispiel: Der rechte Winkel bei C
- 1Die Katheten a = BC und b = AC stehen senkrecht aufeinander.
- 2Also ist a zugleich die Höhe zur Seite b und b die Höhe zur Seite a.
- 3Beide treffen sich in C, daher gilt H = C.
Teste dich
Mit A ist hier der Flächeninhalt gemeint. Für jede Grundseite g und die zugehörige Höhe h gilt A = \frac{g \cdot h}{2}. Umgestellt nach h erhältst du h = \frac{2A}{g}. Achte darauf, dass g wirklich die Seite ist, auf der die gesuchte Höhe senkrecht steht. Mehr zur Fläche findest du bei „Flächeninhalt Dreieck“. Für andere Angaben gibt es eigene Formeln, siehe Tabelle. Winkel allein reichen nie: Gleich geformte Dreiecke können verschieden groß sein. Beim Sinus prüfst du am Taschenrechner, dass das Gradmaß eingestellt ist.
Beispiel: Höhe aus Fläche und Grundseite
- 1Gegeben: A = 15\,\mathrm{cm}^2, g = 6\,\mathrm{cm}
- 2h = \frac{2 \cdot 15\,\mathrm{cm}^2}{6\,\mathrm{cm}} = 5\,\mathrm{cm}
- 3Einheit: cm² geteilt durch cm ergibt cm.
- 4Probe: \frac{6\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm}}{2} = 15\,\mathrm{cm}^2
| Gegeben | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Seite a und Winkel \beta | h_c = a \cdot \sin(\beta) | 5\,\mathrm{cm} \cdot \sin(30^\circ) = 2{,}5\,\mathrm{cm} |
| rechtwinklig, Katheten a, b, Hypotenuse c | h_c = \frac{a \cdot b}{c} | \frac{6\,\mathrm{cm} \cdot 8\,\mathrm{cm}}{10\,\mathrm{cm}} = 4{,}8\,\mathrm{cm} |
| gleichseitig, Seite a | h = \frac{a\sqrt{3}}{2} | a = 6\,\mathrm{cm}: h = 3\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \approx 5{,}2\,\mathrm{cm} |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Höhe im Dreieck
Zuordnung
zu a gehört h_a, zu b gehört h_b, zu c gehört h_c
Konstruktion
Senkrechte durch den gegenüberliegenden Eckpunkt
Höhenschnittpunkt
alle drei Höhen treffen sich in einem Punkt H
Lage des Schnittpunkts
innen, am rechten Winkel oder außerhalb
Berechnung
h = \frac{2A}{g} mit der passenden Grundseite
Besondere Dreiecke
Sinus, h_c = \frac{a \cdot b}{c} oder h = \frac{a\sqrt{3}}{2}
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Zwei Höhen eines Dreiecks mit 36 cm² Fläche
- 1Gegeben: A = 36\,\mathrm{cm}^2, a = 12\,\mathrm{cm}, b = 8\,\mathrm{cm}
- 2h_a = \frac{2 \cdot 36\,\mathrm{cm}^2}{12\,\mathrm{cm}} = 6\,\mathrm{cm}
- 3h_b = \frac{2 \cdot 36\,\mathrm{cm}^2}{8\,\mathrm{cm}} = 9\,\mathrm{cm}
- 4Probe: \frac{12 \cdot 6}{2} = 36 und \frac{8 \cdot 9}{2} = 36
- 5Zur kürzeren Seite gehört die längere Höhe.
Fehler finden
Höhe zur Grundseite 8 cm bei 20 cm² Fläche In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Beim Umstellen ist das Teilen durch 2 verloren gegangen. Richtig ist 20 = 4 \cdot h, also h = 5 cm. Probe: \frac{8 \cdot 5}{2} = 20.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Höhe h_a verläuft durch den Eckpunkt . Sie steht zur Seitengeraden a. Beim stumpfwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt des Dreiecks.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback