Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Faktorregel: Konstante Faktoren richtig ableiten
Die Faktorregel sagt, was beim Ableiten mit einer Zahl vor dem Term passiert. Du übst sie mit Potenz- und Summenregel und lernst typische Fehler kennen.
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Kurz gesagt
Die Faktorregel besagt: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen. Für f(x) = a \cdot g(x) gilt f'(x) = a \cdot g'(x), zum Beispiel (3x^5)' = 3 \cdot 5x^4 = 15x^4. Nur ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg.
Die Faktorregel sagt: Multipliziert eine konstante Zahl eine Funktion, bleibt diese Zahl beim Ableiten unverändert. Für f(x) = a \cdot g(x) gilt also f'(x) = a \cdot g'(x). Hier lernst du, konstante Faktoren zu erkennen, die Faktorregel mit der Potenz- und Summenregel zu verbinden und typische Fehler zu vermeiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Ein konstanter Faktor ist eine feste Zahl, die einen von x abhängigen Term multipliziert. Sie ändert sich nicht, wenn sich x ändert. Das kann eine ganze Zahl, ein Bruch, eine negative Zahl oder eine Zahl wie \sqrt{2} sein. In 3x^5 ist 3 konstant und x^5 der variable Teil. Ein Minus davor gehört zum Faktor: In -4x^3 ist der Faktor -4. Dagegen ist x in x \cdot x^2 kein konstanter Faktor, weil sein Wert von x abhängt.
Definition
Faktorregel
Ist a eine reelle Konstante und g ableitbar, dann gilt: f(x) = a \cdot g(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = a \cdot g'(x) Du leitest nur g(x) ab und schreibst a unverändert davor.
Teste dich
Gehe in drei Schritten vor. Bestimme zuerst den konstanten Faktor a und den variablen Teil g(x). Leite dann g(x) mit der passenden Regel ab. Multipliziere das Ergebnis zum Schluss mit dem unveränderten Faktor a und vereinfache. Für Potenzen brauchst du zusätzlich die Potenzregel: (x^n)' = n \cdot x^{n-1}
Beispiel: f(x) = \frac{3}{4}x^8 ableiten
- 1Konstanter Faktor: \frac{3}{4}, variabler Teil: x^8
- 2Potenzregel: (x^8)' = 8x^7
- 3f'(x) = \frac{3}{4} \cdot 8x^7 = 6x^7
- 4Der Faktor \frac{3}{4} ist nicht verschwunden, er wurde mit 8 zusammengefasst.
Merke: Faktor stehen lassen, variablen Teil ableiten, Zahlen zusammenfassen.
Teste dich
Bei einem Polynom trennst du die Funktion an Plus- und Minuszeichen. Mit der Summenregel leitest du jeden Summanden einzeln ab, die Rechenzeichen bleiben erhalten. Beim linearen Term gilt x' = 1, ein konstanter Summand hat die Ableitung 0. Die Faktorregel gilt nur für einen konstanten Faktor: In x \cdot g(x) hängt der erste Faktor selbst von x ab, dafür brauchst du die Produktregel.
Beispiel: p(x) = 6x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x ableiten
- 1Jeden Summanden getrennt ableiten, den Faktor stehen lassen
- 2p'(x) = 6 \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 2 \cdot 1
- 3p'(x) = 18x^2 - 5x + 2
- 4Das Minus vor dem zweiten Summanden bleibt erhalten.
| Typischer Fehler | Falsch | Richtig |
|---|---|---|
| Faktor mit abgeleitet | (3x^5)' = 0 \cdot 5x^4 = 0 | (3x^5)' = 15x^4 |
| Exponent nicht vermindert | (x^5)' = 5x^5 | (x^5)' = 5x^4 |
| Minus verloren | (-4x^3)' = 12x^2 | (-4x^3)' = -12x^2 |
| Konstanter Summand bleibt stehen | (x^2 + 7)' = 2x + 7 | (x^2 + 7)' = 2x |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Faktorregel
Erkennen
konstante Zahl vor einem variablen Term, samt Vorzeichen
Anwenden
Faktor behalten und nur den variablen Teil ableiten
Mit Potenzregel
Exponent vorziehen und um 1 vermindern
Mit Summenregel
jeden Summanden einzeln behandeln
Konstanter Summand
seine Ableitung ist 0
Prüfen
Vorzeichen, Exponenten und konstante Summanden
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
f(x) = -\frac{1}{2}x^4 + 5x^3 - 3x + 8 ableiten
- 1Summanden: -\frac{1}{2}x^4, 5x^3, -3x und 8
- 2-\frac{1}{2}x^4 wird zu -\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = -2x^3
- 35x^3 wird zu 5 \cdot 3x^2 = 15x^2
- 4-3x wird zu -3, die Konstante 8 wird zu 0
- 5f'(x) = -2x^3 + 15x^2 - 3
Fehler finden
f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 9 ableiten In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Faktor -6 ist verloren gegangen. Richtig ist (-6x^2)' = -6 \cdot 2x = -12x, also f'(x) = 12x^2 - 12x.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für h(x) = 5x^4 bleibt der Faktor erhalten. Die Potenzregel liefert für x^4 die Ableitung . Daher ist die Ableitung h'(x) gleich .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback