Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Geradengleichung aufstellen: Verfahren & Beispiele
Für y=mx+t brauchst du Steigung und Achsenabschnitt. Du lernst, beide aus zwei Punkten oder aus einem Punkt und einer Angabe zu bestimmen.
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Kurz gesagt
Eine Geradengleichung y=mx+t stellst du in zwei Schritten auf: Erst bestimmst du die Steigung m, bei zwei Punkten mit m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Dann setzt du einen Punkt ein und löst nach t auf. Zum Schluss prüfst du die Gleichung mit allen gegebenen Punkten.
Um eine Geradengleichung der Form y=mx+t aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t. Je nach gegebenen Daten berechnest du zuerst die fehlende Größe. Danach prüfst du die Gleichung mit einem bekannten Punkt. Manchmal heißt der y-Achsenabschnitt b statt t: y=mx+t und y=mx+b meinen dasselbe.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Jede nicht senkrechte Gerade hat eine Gleichung y=mx+t. In y=0{,}5x-1 gilt zum Beispiel m=0{,}5 und t=-1. Setzt du x=0 ein, erhältst du y=-1: Dort schneidet die Gerade die y-Achse. Ein bekannter Punkt liefert dir seine Koordinaten als Werte für x und y. Damit kannst du eine fehlende Größe ausrechnen.
Definition
Steigung
Die Steigung m beschreibt, wie sich y verändert, wenn x um eins zunimmt. Ist m positiv, steigt die Gerade nach rechts. Ist m negativ, fällt sie. Bei m=0 verläuft sie waagerecht.
Definition
y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt t ist der y-Wert, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Dort gilt x=0. Der Schnittpunkt lautet deshalb (0|t).
Merke: Zum Aufstellen von y=mx+t bestimmst du erst m, dann t. Ein Punkt auf der Geraden macht die Gleichung zu einer wahren Aussage.
Teste dich
Kennst du die Steigung und einen Punkt, setzt du beides in y=mx+t ein und löst nach t auf. Kennst du stattdessen den Achsenabschnitt t und einen Punkt, setzt du ebenfalls ein und löst diesmal nach m auf. In beiden Fällen gehört die erste Koordinate des Punkts zu x, die zweite zu y.
Beispiel: Steigung m=4 und Punkt P(-1|1)
- 1Einsetzen mit x=-1 und y=1: 1=4\cdot(-1)+t
- 21=-4+t
- 3t=5
- 4Gleichung: y=4x+5
- 5Probe: 4\cdot(-1)+5=1
Beispiel: Achsenabschnitt t=-3 und Punkt P(2|1)
- 1Einsetzen: 1=2m-3
- 2+3 auf beiden Seiten: 4=2m
- 3:2: m=2
- 4Gleichung: y=2x-3
- 5Probe: 2\cdot2-3=1
Teste dich
Sind A(x_1|y_1) und B(x_2|y_2) gegeben, berechnest du zuerst die Steigung mit dem Differenzenquotienten m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Verwende in Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge der Punkte. Dann setzt du einen der beiden Punkte ein und bestimmst t. Den anderen Punkt nimmst du für die Probe.
Beispiel: Gerade durch A(-1|1) und B(2|3)
- 1Steigung: m=\frac{3-1}{2-(-1)}=\frac{2}{3}
- 2B einsetzen: 3=\frac{2}{3}\cdot2+t
- 33=\frac{4}{3}+t, also t=\frac{5}{3}
- 4Gleichung: y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}
- 5Probe mit A: \frac{2}{3}\cdot(-1)+\frac{5}{3}=1
Merke: Bei zwei Punkten: Steigung berechnen, einen Punkt einsetzen, t bestimmen, mit beiden Punkten prüfen.
Teste dich
Nicht jede Gerade sieht aus wie y=mx+t mit zwei Zahlen. Achte außerdem auf diese Fehlerquellen: Setze bei einem Punkt (x|y) die erste Koordinate für x und die zweite für y ein. Bilde im Differenzenquotienten beide Differenzen in derselben Punktreihenfolge. Verwechsle m und t nicht. Prüfe bei zwei gegebenen Punkten beide in der fertigen Gleichung. Und stoppe bei x_2-x_1=0: Dann ist die Gerade senkrecht.
| Sonderfall | Kennzeichen | Form |
|---|---|---|
| Ursprungsgerade | t=0 | y=mx |
| Winkelhalbierende | m=1, t=0 | y=x |
| waagerechte Gerade | m=0 | y=t |
| senkrechte Gerade | gleiche x-Werte | x=c, nicht als y=mx+t darstellbar |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Geradengleichung aufstellen
Grundform
y=mx+t mit Steigung m und y-Achsenabschnitt t
Steigung aus zwei Punkten
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, gleiche Reihenfolge oben und unten
Achsenabschnitt
einen Punkt einsetzen und nach t auflösen
Kontrolle
alle gegebenen Punkte in die fertige Gleichung einsetzen
Sonderfälle
t=0 Ursprungsgerade, m=0 waagerecht, x=c senkrecht
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Gerade durch A(-2|8) und B(4|-1) aufstellen
- 1Steigung: m=\frac{-1-8}{4-(-2)}=\frac{-9}{6}=-1{,}5
- 2A einsetzen: 8=-1{,}5\cdot(-2)+t
- 38=3+t, also t=5
- 4Gleichung: y=-1{,}5x+5
- 5Probe mit B: -1{,}5\cdot4+5=-1
Fehler finden
Gerade mit m=2 durch P(1|2) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2x und y wurden vertauscht. Richtig ist 2=2\cdot1+t, also t=0 und y=2x. Probe: 2\cdot1=2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei zwei verschiedenen Punkten berechnest du zuerst die . Die Differenz der y-Werte steht dabei im . Danach setzt du einen Punkt ein und bestimmst den .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback