Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Gegenereignis erkennen und berechnen
Das Gegenereignis umfasst alles, was nicht zu A gehört. Du lernst, es richtig zu formulieren und mit der Gegenwahrscheinlichkeit geschickt zu rechnen.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Gegenereignis \overline A enthält genau alle Ergebnisse, bei denen das Ereignis A nicht eintritt. Weil immer entweder A oder \overline A eintritt, gilt P(\overline A) = 1 - P(A). Beispiel: Ist P(A) = 0{,}2, dann ist P(\overline A) = 0{,}8.
Beim Würfeln keine Sechs, beim Elfmeter kein Tor, bei der Klassenarbeit nicht alle Aufgaben richtig: Oft ist die Frage, was nicht passiert. Ein Gegenereignis umfasst genau alle möglichen Ergebnisse, bei denen das Ereignis A nicht eintritt. Es wird mit \overline A bezeichnet. Hier lernst du, Gegenereignisse vollständig zu formulieren und mit ihnen Wahrscheinlichkeiten schneller zu berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Ergebnisraum \Omega enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Ein Ereignis A ist eine Auswahl daraus. Das Gegenereignis besteht aus allem, was übrig bleibt. Kein Ergebnis gehört zu beiden, und zusammen ergeben sie den ganzen Ergebnisraum: A \cup \overline A = \Omega.
Definition
Gegenereignis
Das Gegenereignis \overline A enthält alle Ergebnisse aus \Omega, die nicht zu A gehören.
Beispiel: Einmal würfeln: Augenzahl höchstens 4
- 1Ergebnisraum: \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
- 2A: Die Augenzahl ist höchstens 4, also A = \{1, 2, 3, 4\}
- 3Übrig bleiben 5 und 6.
- 4\overline A: Die Augenzahl ist größer als 4, also \overline A = \{5, 6\}
Merke: Jedes Ergebnis gehört entweder zu A oder zu \overline A: niemals zu beiden und niemals zu keinem.
Teste dich
Das mathematische Gegenereignis ist nicht immer das umgangssprachliche „Gegenteil“. Es muss jeden Fall enthalten, in dem die ursprüngliche Aussage nicht gilt. Zu „Alle fünf Münzwürfe zeigen Kopf“ lautet das Gegenereignis deshalb nicht „Alle zeigen Zahl“. Auch viermal Kopf und einmal Zahl gehört dazu. Richtig ist: „Mindestens ein Wurf zeigt Zahl.“ Achte besonders auf Grenzfälle: Aus „kleiner als“ wird „größer oder gleich“.
| Ereignis | Gegenereignis |
|---|---|
| alle haben die Eigenschaft | mindestens eines hat sie nicht |
| kein Ergebnis hat die Eigenschaft | mindestens eines hat sie |
| mindestens k Treffer | höchstens k − 1 Treffer |
| kleiner als k | größer oder gleich k |
| genau ein bestimmtes Ergebnis | jedes andere mögliche Ergebnis |
Beispiel: Fünf Münzwürfe: mindestens zweimal Zahl
- 1Ereignis: Es fällt mindestens zweimal Zahl.
- 2Es tritt nicht ein, wenn Zahl keinmal oder genau einmal fällt.
- 3Gegenereignis: Es fällt höchstens einmal Zahl.
Teste dich
Ereignis und Gegenereignis decken zusammen alle Möglichkeiten ab. Ihre Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich deshalb zu 1 beziehungsweise 100 %: P(A) + P(\overline A) = 1. Daraus folgt die Gegenwahrscheinlichkeit P(\overline A) = 1 - P(A).
Beispiel: Gegenwahrscheinlichkeit bei der Tombola
- 1In der Lostrommel sind 200 Lose, 30 davon gewinnen: P(A) = \frac{30}{200} = \frac{3}{20}
- 2Gegenereignis „Niete“: P(\overline A) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20} = 85\,\%
- 3Probe: \frac{3}{20} + \frac{17}{20} = 1
Merke: P(\overline A) = 1 - P(A). Prüfe am Ende: Beide Wahrscheinlichkeiten zusammen müssen 1 ergeben.
Teste dich
Die Rechnung über das Gegenereignis lohnt sich besonders, wenn es deutlich weniger Fälle enthält als das gesuchte Ereignis. Bei zwei Würfeln zählst du dafür die 36 gleich wahrscheinlichen geordneten Paare, nicht die elf möglichen Summen: Die Summen 2 bis 12 sind nicht gleich wahrscheinlich. Die Summe 2 entsteht nur durch (1, 1), die Summe 10 dagegen durch drei Paare.
Beispiel: Zwei Würfel: Die Augensumme ist nicht 10
- 1Direkt müsstest du 33 Paare zählen. Das Gegenereignis „Summe 10“ hat nur drei: (4, 6), (5, 5), (6, 4).
- 2P(\text{Summe 10}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
- 3P(\text{Summe nicht 10}) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \approx 91{,}7\,\%
- 4Das ist plausibel: Nur 3 der 36 Paare ergeben die Summe 10.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Gegenereignis
Gegenereignis
\overline A enthält alle Ergebnisse, die nicht zu A gehören
Zusammen
A und \overline A überschneiden sich nicht und ergeben \Omega
Gegenwahrscheinlichkeit
P(\overline A) = 1 - P(A)
Richtig verneinen
„alle“ wird zu „mindestens eines nicht“, „mindestens k“ zu „höchstens k − 1“
Geschickt rechnen
das Ereignis mit weniger Fällen bestimmen und das Ergebnis prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Zweimal würfeln: Wie wahrscheinlich ist mindestens eine Sechs?
- 1A: mindestens eine 6. Gegenereignis \overline A: keine 6
- 2Ohne 6 hat jeder Würfel 5 Möglichkeiten: 5 · 5 = 25 der 36 Paare
- 3P(\overline A) = \frac{25}{36}
- 4P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 30{,}6\,\%
- 5Direkt hättest du 11 Paare mit mindestens einer 6 zählen müssen.
Fehler finden
Einmal würfeln: Augenzahl mindestens 3 über das Gegenereignis In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die 3 gehört schon zu A. Das Gegenereignis von „mindestens 3“ ist „höchstens 2“, also 1 oder 2. Dann ist P(\overline A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} und P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Gegenereignis zu „Die Augenzahl ist kleiner als 2“ lautet „Die Augenzahl ist 2“. Zu „Keine der drei Zahlen ist gerade“ gehört „ der drei Zahlen ist gerade“. Zu „Mindestens zweimal Zahl“ gehört „ Zahl“.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback