Mathematik · Klasse 5–6 · aktualisiert
ggT berechnen: drei Methoden einfach erklärt
Der ggT ist die größte Zahl, die mehrere Zahlen ohne Rest teilt. Du lernst drei Methoden, ihn zu finden, und kürzt damit Brüche.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) ist die größte Zahl, die alle betrachteten Zahlen ohne Rest teilt. Zum Beispiel ist ggT(20, 30) = 10. Du findest ihn mit Teilerlisten, mit der Primfaktorzerlegung oder mit dem euklidischen Algorithmus. Ist der ggT 1, heißen die Zahlen teilerfremd.
Du willst 24 Bonbons und 36 Gummibärchen so auf Tütchen verteilen, dass jedes Tütchen gleich viel bekommt und nichts übrig bleibt. Wie viele Tütchen gehen höchstens? Die Antwort ist der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT. Du kannst ihn durch Teilerlisten, Primfaktorzerlegung oder den euklidischen Algorithmus bestimmen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Teiler einer Zahl teilt sie ohne Rest. Zum Beispiel ist 5 ein Teiler von 20, denn 20 : 5 = 4. Die gemeinsamen Teiler von 20 und 30 sind 1, 2, 5 und 10. Der größte davon ist 10. Die 1 ist immer ein gemeinsamer Teiler.
Definition
Größter gemeinsamer Teiler
Der ggT von zwei oder mehr positiven natürlichen Zahlen ist der größte positive Teiler, der alle Zahlen ohne Rest teilt. Man schreibt zum Beispiel \operatorname{ggT}(20,30)=10.
Merke: Ist der ggT zweier Zahlen 1, heißen die Zahlen teilerfremd. Sie können trotzdem beide größer als 1 sein, zum Beispiel 8 und 9.
Teste dich
Für kleine Zahlen listest du alle Teiler beider Zahlen auf, markierst die gemeinsamen und wählst den größten. Die Teiler findest du systematisch als Teilerpaare. Ein schneller Sonderfall: Teilt die kleinere Zahl die größere ohne Rest, ist sie schon der ggT, zum Beispiel \operatorname{ggT}(48,16)=16, weil 48 : 16 = 3. Bei größeren Zahlen hilft die Primfaktorzerlegung: Du schreibst jede Zahl als Produkt von Primzahlen, etwa 2^3=2\cdot2\cdot2. Für den ggT nimmst du nur die Primfaktoren, die in allen Zerlegungen vorkommen, und zwar so oft, wie sie in jeder Zahl mindestens vorkommen.
Beispiel: ggT(36, 48) mit Teilerlisten
- 1Teilerpaare von 36: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
- 2Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- 3Teiler von 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- 4Gemeinsam: 1, 2, 3, 4, 6, 12, der größte ist 12
- 5Probe: 36 : 12 = 3 und 48 : 12 = 4
Beispiel: ggT(360, 450) mit Primfaktoren
- 1360=2^3\cdot3^2\cdot5
- 2450=2\cdot3^2\cdot5^2
- 3Gemeinsam: einmal 2, zweimal 3, einmal 5
- 4\operatorname{ggT}(360,450)=2\cdot3^2\cdot5=90
- 5Probe: 360 : 90 = 4 und 450 : 90 = 5
Merke: Für jeden gemeinsamen Primfaktor gehört der kleinste Exponent in den ggT. Gibt es keinen gemeinsamen Primfaktor, ist der ggT 1.
Teste dich
Der euklidische Algorithmus ist praktisch, wenn Teilerlisten oder Zerlegungen lang werden. Teile die größere Zahl durch die kleinere und notiere den Rest. Die Zahl, durch die du teilst, heißt Divisor, das ganzzahlige Ergebnis Quotient. Rechne dann mit dem bisherigen Divisor und dem Rest weiter. Sobald der Rest 0 ist, ist der Divisor dieser letzten Division der ggT. Warum darfst du mit dem Rest weiterrechnen? Jeder gemeinsame Teiler von 143 und 65 teilt auch 143 − 2 · 65 = 13, und umgekehrt. Die gemeinsamen Teiler bleiben also gleich, während die Zahlen immer kleiner werden.
Beispiel: ggT(143, 65) mit Resten
- 1143 = 2 · 65 + 13
- 2Weiter mit Divisor 65 und Rest 13:
- 365 = 5 · 13 + 0
- 4Rest 0, der letzte Divisor ist 13: \operatorname{ggT}(143,65)=13
Teste dich
Für mehr als zwei Zahlen bildest du den ggT schrittweise: erst den ggT zweier Zahlen, dann den ggT dieses Ergebnisses mit der nächsten Zahl. Oder du vergleichst Primfaktoren und nimmst nur die, die in allen Zahlen vorkommen. Mit dem ggT kürzt du einen Bruch in einem Schritt vollständig: Du teilst Zähler und Nenner durch ihren ggT, der Wert bleibt gleich. Mehr dazu findest du unter Brüche kürzen. Achte dabei auf typische Fehler: Ein gemeinsamer Teiler ist nicht automatisch der größte. Und bei Primfaktoren zählen nur Faktoren, die in allen Zahlen vorkommen.
Beispiel: ggT(24, 36, 60)
- 124=2^3\cdot3, 36=2^2\cdot3^2, 60=2^2\cdot3\cdot5
- 2In allen drei steckt mindestens 2^2 und 3.
- 3\operatorname{ggT}(24,36,60)=2^2\cdot3=12
Beispiel: 84126 vollständig kürzen
- 1126 = 1 · 84 + 42
- 284 = 2 · 42 + 0, also ist der ggT 42
- 3\frac{84}{126}=\frac{84:42}{126:42}=\frac{2}{3}
Teste dich
Alles auf einen Blick
ggT (größter gemeinsamer Teiler)
Bedeutung
größte Zahl, die alle Zahlen ohne Rest teilt
Methoden
Teilerlisten, Primfaktoren, euklidischer Algorithmus
Primfaktoren
nur gemeinsame Faktoren mit dem kleineren Exponenten
Teilerfremd
Der ggT ist 1
Anwendung
Brüche vollständig kürzen und Größen gerecht aufteilen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
ggT(48, 180) bestimmen und 48180 kürzen
- 148=2^4\cdot3
- 2180=2^2\cdot3^2\cdot5
- 3Gemeinsam: 2^2 und 3
- 4\operatorname{ggT}(48,180)=2^2\cdot3=12
- 5\frac{48}{180}=\frac{48:12}{180:12}=\frac{4}{15}
Fehler finden
ggT(40, 60) mit Primfaktoren In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Für den ggT zählt der kleinere Exponent: 2^2 statt 2^3. Richtig ist \operatorname{ggT}(40,60)=2^2\cdot5=20. Probe: 40 : 20 = 2 und 60 : 20 = 3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der ggT ist der gemeinsame Teiler. Sind zwei Zahlen teilerfremd, ist ihr ggT . Bei der Primfaktorzerlegung wählst du für jeden gemeinsamen Primfaktor den Exponenten.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback