Mathematik · Klasse 5–6 · aktualisiert
Lot fällen und errichten: Anleitung und Übungen
Ein Lot steht senkrecht auf einer Geraden. Du lernst, wann du es errichtest oder fällst und wie du es mit Geodreieck oder Zirkel konstruierst.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Lot ist eine Gerade, die eine gegebene Gerade g im rechten Winkel schneidet. Liegt der Punkt P auf g, errichtest du das Lot in P. Liegt P außerhalb, fällst du das Lot von P auf g. Die Lotstrecke von P zum Fußpunkt F ist der Abstand von P zu g.
Liegt der vorgegebene Punkt auf der Geraden, errichtest du dort ein Lot. Liegt er außerhalb, fällst du von ihm ein Lot auf die Gerade. In beiden Fällen entsteht eine Gerade, die die Ausgangsgerade im rechten Winkel schneidet.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie einen Winkel von 90° bilden. Fachsprachlich heißen solche Geraden orthogonal. Schneidet die Lotgerade die Ausgangsgerade im Punkt F, dann heißt F Lotfußpunkt oder kurz Fußpunkt. Der Teil zwischen dem Ausgangspunkt und F ist die Lotstrecke. Beim Fällen eines Lots verbindet die Lotstrecke den außerhalb liegenden Punkt P mit dem Fußpunkt F auf g. Diese Strecke ist die kürzeste Verbindung von P zur Geraden g. Ihre Länge ist der Abstand des Punktes von der Geraden. Eine schräg verlaufende Strecke von P zu einem anderen Punkt auf g ist länger. Verwechsle das Lot nicht mit der Mittelsenkrechten einer vorgegebenen Strecke: Ein Lot kann in jedem Punkt einer Geraden errichtet werden. Eine Mittelsenkrechte verläuft durch den Mittelpunkt einer bestimmten Strecke. Bei der Zirkelkonstruktion wird eine Hilfsstrecke erzeugt, deren Mittelsenkrechte das gesuchte Lot ist.
Definition
Lot
Ein Lot ist eine Gerade oder Strecke, die senkrecht auf einer gegebenen Geraden steht.
Merke: Ein rechter Winkel am Schnittpunkt ist das entscheidende Merkmal eines Lots.
Teste dich
Die Lage des vorgegebenen Punktes bestimmt den passenden Ausdruck. Liegt P auf der Geraden g, wird das Lot in P errichtet. Liegt P nicht auf g, wird das Lot von P auf g gefällt. Beim Fällen liegt der spätere Fußpunkt F auf g. Der Ausgangspunkt P und der Fußpunkt F sind dann verschiedene Punkte.
Beispiel: Straße und Baum
- 1Ein Punkt P liegt auf einer geraden Straße. Dort soll eine Seitenstraße im rechten Winkel abzweigen.
- 2P liegt auf der Straße: Du errichtest das Lot in P.
- 3Ein Baum steht bei P neben der Straße. Gesucht ist der kürzeste gerade Weg zur Straße.
- 4P liegt außerhalb: Du fällst das Lot von P auf die Straße.
Teste dich
Mit dem Geodreieck nutzt du seine Grundlinie und die dazu senkrechte 90°-Markierung. Die ersten Schritte sind beim Errichten und beim Fällen gleich. Je nach Bauform des Geodreiecks können die Markierungen anders aussehen. Prüfe deshalb zuerst, welche Linie oder Kante laut 90°-Markierung senkrecht zur angelegten Grundlinie verläuft.
| Schritt | Lot in P errichten | Lot von P fällen |
|---|---|---|
| 1 | Grundlinie genau auf g legen | Grundlinie genau auf g legen |
| 2 | verschieben, bis die 90°-Linie durch P verläuft | parallel zu g verschieben, bis die 90°-Linie durch P verläuft |
| 3 | durch P entlang der 90°-Linie zeichnen | durch P bis über g hinweg zeichnen |
| 4 | rechten Winkel am Schnittpunkt markieren | Schnittpunkt mit g als F bezeichnen |
Merke: Lege sorgfältig an und verschiebe das Geodreieck, ohne es zu drehen. Schon eine kleine Verdrehung verändert den Winkel.
Teste dich
Lot errichten (P auf g): Stich den Zirkel in P ein und zeichne einen Kreisbogen, der g auf beiden Seiten von P schneidet. Nenne die Schnittpunkte S_1 und S_2. Beide sind gleich weit von P entfernt. Öffne den Zirkel weiter als die Hälfte der Strecke zwischen S_1 und S_2. Zeichne mit unveränderter Zirkelöffnung je einen Kreisbogen um S_1 und S_2. Markiere einen Schnittpunkt der beiden Kreisbögen mit K. Zeichne die Gerade durch P und K. Lot fällen (P außerhalb von g): Stich den Zirkel in P ein. Wähle den Radius so groß, dass der Kreis g in zwei Punkten schneidet. Nenne sie A und B. Zeichne mit dem Abstand AP einen Kreisbogen um A. Zeichne mit unveränderter Zirkelöffnung einen Kreisbogen um B. Die beiden Bögen schneiden sich in P und in einem zweiten Punkt Q. Zeichne die Gerade durch P und Q. Markiere ihren Schnittpunkt mit g als Fußpunkt F.
Beispiel: Warum steht PK senkrecht auf g?
- 1S_1 und S_2 liegen auf demselben Kreis um P: P ist von beiden gleich weit entfernt.
- 2Die Bögen um S_1 und S_2 haben dieselbe Zirkelöffnung: Auch K ist von beiden gleich weit entfernt.
- 3Also ist PK die Mittelsenkrechte der Strecke S_1S_2 auf g und steht senkrecht auf g.
Beispiel: Warum steht PQ senkrecht auf g?
- 1Der erste Kreis um P zeigt: PA und PB sind gleich lang.
- 2Die Bögen um A und B mit gleicher Öffnung zeigen: QA und QB sind gleich lang.
- 3Also ist PQ die Mittelsenkrechte von AB. Da AB auf g liegt, steht PQ senkrecht auf g.
Merke: Die beiden Kreisbögen um S_1 und S_2 müssen dieselbe Zirkelöffnung haben und sich schneiden. Ist der Radius zu klein, entsteht kein Schnittpunkt K.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lot fällen und errichten
Kennzeichen
rechter Winkel von 90°
Punkt auf der Geraden
Lot errichten
Punkt außerhalb
Lot fällen
Hilfsmittel
Geodreieck oder Zirkel und Lineal
Schnittpunkt mit der Geraden
Lotfußpunkt
Länge der Lotstrecke
Abstand
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Bestimme den Abstand des Punktes P von der Geraden g.
- 1P liegt nicht auf g. Also fällst du das Lot.
- 2Lege die Grundlinie des Geodreiecks auf g und verschiebe es, bis die 90°-Linie durch P geht.
- 3Zeichne das Lot von P bis g und markiere den Fußpunkt F.
- 4Miss die Lotstrecke PF, zum Beispiel 3,4 cm.
- 5Der Abstand von P zu g beträgt 3,4 cm. Jede schräge Strecke von P zu g wäre länger.
Fehler finden
Fälle mit dem Zirkel ein Lot von P auf g. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Bogen um B braucht dieselbe Zirkelöffnung AP. Nur dann ist Q von A und B gleich weit entfernt und PQ die Mittelsenkrechte von AB.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Liegt P auf g, wird das Lot . Liegt P außerhalb von g, wird es . Die Länge der Lotstrecke gibt den von P zu g an.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback