Mathematik · Klasse 5–6 · aktualisiert
Brüche kürzen: Regeln, Beispiele und Übungen
Beim Kürzen machst du einen Bruch einfacher, ohne seinen Wert zu ändern. Du lernst, Kürzungszahlen zu finden und Brüche vollständig zu kürzen.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl größer als 1 zu teilen. Der Wert bleibt gleich: Teilst du Zähler und Nenner von 2842 durch 14, erhältst du 23. Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben.
1824 oder 34? Beide Brüche haben denselben Wert, aber mit dem zweiten rechnest du viel leichter. Kürzen macht aus großen Zahlen kleine. Hier lernst du, warum der Wert dabei gleich bleibt, wie du mit Teilbarkeitsregeln eine Kürzungszahl findest und wann ein Bruch vollständig gekürzt ist.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Beim Kürzen teilst du beide durch dieselbe Zahl. Zwei von vier gleich großen Teilen sind genauso viel wie einer von zwei gleich großen Teilen. Deshalb gilt 24 = 12. Die Teile werden größer, dafür brauchst du weniger davon.
Definition
Kürzungszahl
Eine Kürzungszahl teilt den Zähler und den Nenner ohne Rest. Sie ist ein gemeinsamer Teiler, der größer als 1 ist.
Beispiel: 24 durch 2 kürzen
- 1Zähler: 2 : 2 = 1
- 2Nenner: 4 : 2 = 2
- 324 = 12
Merke: Teile beim Kürzen immer Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Durch 0 darfst du nicht teilen.
Teste dich
Suche eine Zahl größer als 1, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt. Dabei helfen Teilbarkeitsregeln. Für die Teilbarkeit durch 3 brauchst du die Quersumme, also die Summe der Ziffern einer Zahl. Bei 48 ist sie 4 + 8 = 12.
| Kürzen durch | Wenn Zähler und Nenner … | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | beide gerade sind | 1420 = 710 |
| 3 | beide eine durch 3 teilbare Quersumme haben | 4857 = 1619 |
| 5 | beide auf 0 oder 5 enden | 4575 = 915 |
| 10 | beide auf 0 enden | 3070 = 37 |
Beispiel: 4857 kürzen
- 1Quersumme von 48: 4 + 8 = 12
- 2Quersumme von 57: 5 + 7 = 12
- 312 ist durch 3 teilbar, also kürzt du durch 3
- 44857 = 1619
- 516 und 19 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1
Teste dich
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr haben. Dann heißen sie teilerfremd. Du kannst schrittweise kürzen oder sofort den größten gemeinsamen Teiler nehmen, kurz ggT. Das ist die größte Zahl, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt.
Beispiel: 2842 vollständig kürzen
- 1Beide Zahlen sind gerade: 2842 = 1421
- 214 und 21 sind durch 7 teilbar: 1421 = 23
- 32 und 3 sind teilerfremd, also fertig
- 4Direkt mit dem ggT 14: 28 : 14 = 2 und 42 : 14 = 3
Merke: Mit jedem gemeinsamen Teiler kürzt du richtig. Mit dem ggT bist du in einem Schritt fertig.
Teste dich
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur 1 und sich selbst als Teiler hat. Bei der Primfaktorzerlegung schreibst du eine Zahl als Produkt von Primzahlen. Stehen im Zähler und im Nenner dieselben Faktoren, darfst du sie paarweise streichen. Das ist nur eine Kurzschrift dafür, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen. Einzelne Summanden darfst du dagegen nie streichen.
Beispiel: 1230 mit Primfaktoren kürzen
- 112 = 2 · 2 · 3
- 230 = 2 · 3 · 5
- 3\frac{12}{30} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 5}
- 4Gemeinsam sind die Faktoren 2 und 3, also teilst du durch 6
- 51230 = 25
Teste dich
Alles auf einen Blick
Brüche kürzen
Grundregel
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen, der Wert bleibt
Kürzungszahl
gemeinsamer Teiler größer als 1, Teilbarkeitsregeln helfen
Vollständig
schrittweise kürzen oder direkt mit dem ggT
Kontrolle
Am Ende sind Zähler und Nenner teilerfremd
Primfaktoren
gemeinsame Faktoren oben und unten streichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
4575 schrittweise vollständig kürzen
- 1Beide Zahlen enden auf 5: durch 5 kürzen
- 24575 = 915
- 39 und 15 sind beide durch 3 teilbar
- 4915 = 35
- 53 und 5 sind teilerfremd, also ist 35 vollständig gekürzt
Fehler finden
2436 vollständig kürzen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Nenner wurde nicht geteilt. Auch 36 muss durch 12 geteilt werden: 36 : 12 = 3, also 2436 = 23.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl . Mit dem kürzt du in einem Schritt vollständig. Danach sind Zähler und Nenner .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback