Eulersche Zahl e einfach erklärt

e ist eine mathematische Konstante: Ihr Wert ist fest und hängt nicht von einer Aufgabe oder Maßeinheit ab. Die Dezimaldarstellung 2{,}71828\dots geht unendlich weiter, ohne dass sich eine Ziffernfolge wiederholt. Deshalb ist e irrational: Die Zahl lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben. e ist sogar transzendent. Das heißt: e ist keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten. Transzendenz ist also die stärkere Aussage. Trotzdem ist e exakt festgelegt, nämlich durch einen Grenzwert oder eine Reihe.

Stell dir ein Startkapital von 1 € und insgesamt 100 % Zinsen für ein Jahr vor. Bei einer einzigen Gutschrift hast du am Ende (1+1)^1=2 Euro. Verteilst du den Jahreszins auf zwei Hälften mit je 50 %, sind es \left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2{,}25 Euro. Bei n gleich großen Zeitabschnitten lautet der Endwert \left(1+\frac{1}{n}\right)^n. Je größer n wird, desto näher kommt dieser Ausdruck an e heran: e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n Das Zeichen \lim steht für einen Grenzwert. Es wird nicht wirklich unendlich oft gerechnet. Gemeint ist die Zahl, der sich die Werte beliebig genau nähern.

Eine zweite exakte Beschreibung ist eine unendliche Reihe: e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\dots Das Ausrufezeichen steht für die Fakultät. Für eine positive ganze Zahl multiplizierst du alle natürlichen Zahlen bis zu ihr: 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. Als Festlegung gilt 0!=1. Die Fakultäten im Nenner wachsen sehr schnell. Deshalb werden die weiteren Brüche rasch klein und verbessern die Näherung nur noch wenig.

Für die natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x stimmen Funktion und Ableitung überein: f'(x)=e^x=f(x). Die Steigung ist an jeder Stelle also genauso groß wie der Funktionswert. Der natürliche Logarithmus \ln(x) ist die Umkehrfunktion von e^x. Daher gilt \ln(e)=1, weil e^1=e ist. Außerdem ist die Fläche unter dem Graphen von y=\frac{1}{x} zwischen x=1 und x=e genau 1. Weil e^x seine eigene Ableitung ist, tritt e überall dort auf, wo die momentane Änderung proportional zum aktuellen Bestand ist. Ein passendes Modell lautet A(t)=A_0\cdot e^{kt} mit dem Anfangswert A_0, der Zeit t und einer konstanten relativen Änderungsrate k. Für k>0 beschreibt es Wachstum, für k<0 Zerfall, für k=0 bleibt der Bestand gleich. Beispiele sind kontinuierliche Verzinsung und radioaktiver Zerfall. Reales Wachstum bleibt aber nicht immer exponentiell: Begrenzte Ressourcen können zum Beispiel zu einer Obergrenze führen. Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung taucht e auf: Verteilst du sehr viele Briefe zufällig auf ebenso viele Umschläge, liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \frac{1}{e}\approx0{,}368 kein Brief im richtigen. In der höheren Mathematik verbindet die Euler-Formel e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi) die e-Funktion mit Sinus und Kosinus. Für \varphi=\pi ergibt sich e^{i\pi}+1=0.