Extrempunkte berechnen: Schritt für Schritt

Stell dir den Graphen als Wanderweg vor: Auf dem Gipfel und in der Talsohle ist der Weg für einen Moment waagerecht. Dort ist die Steigung null. Deshalb gilt an einer inneren Stelle, an der die Funktion differenzierbar ist, die notwendige Bedingung f'(x_0)=0 Sie ist nur notwendig, nicht ausreichend: Eine Nullstelle von f' ist zunächst ein Kandidat. Erst eine weitere Prüfung zeigt, ob dort wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. Hat eine Aufgabe einen begrenzten Definitionsbereich, musst du mögliche Randextrema zusätzlich untersuchen.

Hast du einen Kandidaten x_0 gefunden, zeigt die zweite Ableitung oft die Art des Extremums. Ist f''(x_0)<0, ist der Graph dort nach unten gekrümmt: ein Hochpunkt. Ist f''(x_0)>0, ist er nach oben gekrümmt: ein Tiefpunkt. Ist f''(x_0)=0, liefert der Test keine Entscheidung. Das Verfahren hat vier Schritte: f' bilden, f'(x)=0 lösen, die Kandidaten in f'' einsetzen und zum Schluss die Funktionswerte berechnen.

Aus f''(x_0)=0 folgt weder „kein Extrempunkt“ noch automatisch „Sattelpunkt“. Der Test ist lediglich nicht entscheidend. Dann untersuchst du das Vorzeichen von f' links und rechts des Kandidaten. Ist f'(x)>0, steigt f. Ist f'(x)<0, fällt f. Wechselt f' von + nach −, steigt der Graph erst und fällt dann: ein Hochpunkt. Beim Wechsel von − nach + liegt ein Tiefpunkt vor. Ohne Vorzeichenwechsel gibt es keinen Extrempunkt. Dieser Test entscheidet auch dann, wenn f'' nichts aussagt. Beim Beispiel f(x)=x^3-3x^2+4 hat f'(x)=3x(x-2) die Vorzeichenfolge +, −, + in den drei Bereichen, die durch 0 und 2 entstehen. Also liegt bei 0 ein Hochpunkt und bei 2 ein Tiefpunkt.

Nur die Nullstellen von f′ angeben: Eine Lösung von f'(x)=0 ist noch kein nachgewiesener Extrempunkt. Prüfe jeden Kandidaten mit f'' oder über den Vorzeichenwechsel von f'. Die y-Koordinate vergessen: Mit x_0 hast du nur die Extremstelle. Für den vollständigen Punkt berechnest du zusätzlich y_0=f(x_0). Aus f″ = 0 zu viel schließen: Der Wert f''(x_0)=0 bedeutet nur, dass dieser Test offenbleibt. Lokal und global verwechseln: Ein lokaler Hochpunkt ist nur höher als die Punkte in seiner Umgebung. Ein globaler Hochpunkt hat im gesamten betrachteten Bereich den größten Funktionswert. Für eine globale Aussage vergleichst du alle Extrempunkte und die Ränder des Bereichs. Eine praktische Reihenfolge: Bereich prüfen, f' bilden, f'(x)=0 lösen, Kandidaten prüfen, Funktionswerte berechnen und das Ergebnis als Punkt angeben.