Zentrales Schwankungsintervall – einfach erklärt

Kernidee und Bedeutung

Das zentrale Schwankungsintervall ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik. Es beschreibt, wie stark ein aus einer Stichprobe geschätzter Parameter typischerweise vom wahren Parameter der Grundgesamtheit abweichen kann. Ein Parameter ist dabei zum Beispiel der wahre Mittelwert μ, die wahre Varianz σ² oder ein wahrer Anteilswert π in der Grundgesamtheit.

Eine Schätzfunktion θ(X₁,…,Xₙ) ist selbst eine Zufallsvariable, weil sie von der zufällig gezogenen Stichprobe abhängt. Zu einer konkreten Stichprobe x₁,…,xₙ gehört ein Schätzwert θ̂ = θ(x₁,…,xₙ). Das zentrale Schwankungsintervall gibt zu einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit 1−α einen Bereich an, in dem dieser Schätzwert erwartet wird.

Ein wichtiger Nachteil ist: Die Grenzen des zentralen Schwankungsintervalls enthalten den unbekannten wahren Parameter. Deshalb kann man es nicht in derselben Weise praktisch verwenden wie ein Konfidenzintervall. Trotzdem zeigt es, wie groß die zufallsbedingte Abweichung eines Stichprobenschätzers vom wahren Wert ungefähr ist.

Formale Definition

Das zentrale Schwankungsintervall für eine Schätzfunktion θ ist ein Intervall [ϑ−cᵤ; ϑ+cₒ] um den unbekannten Parameter ϑ. Es gilt P(θ < ϑ−cᵤ) = α/2 und P(θ > ϑ−cₒ) = α/2. Zusammen ergibt das:

P(ϑ−cᵤ ≤ θ ≤ ϑ+cₒ) = 1−α.

Das Intervall kann symmetrisch um den unbekannten Parameter liegen, muss es aber nicht. Die Werte cᵤ und cₒ hängen vom Verteilungstyp der Schätzfunktion und von der Varianz Var(θ) der Schätzfunktion ab. Allgemein kann man schreiben:

P(ϑ−cᵤ* √Var(θ) ≤ θ ≤ ϑ+cₒ* √Var(θ)) = 1−α.

Die Sicherheitswahrscheinlichkeit 1−α gibt also an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Schätzfunktion innerhalb dieses zentralen Bereichs liegt. Die Quantile z_q, t_{m;q} und χ²_{m;q} stammen aus der Standardnormalverteilung, der t-Verteilung und der Chi-Quadrat-Verteilung mit m Freiheitsgraden.

Schwankungsintervalle für Mittelwert, Varianz und Anteil

Für den unbekannten Mittelwert μ wird als Schätzfunktion der Stichprobenmittelwert X̄ = (X₁+…+Xₙ)/n verwendet. Wenn Xᵢ normalverteilt ist mit Xᵢ ~ N(μ, σ), dann gilt X̄ ~ N(μ, σ/√n). Wenn Xᵢ beliebig verteilt ist und die Voraussetzungen des zentralen Grenzwertsatzes erfüllt sind, gilt näherungsweise X̄ ≈ N(μ, σ/√n).

Ist σ bekannt, dann gilt ((X̄−μ)/(σ/√n)) ~ N(0,1), und das zentrale Schwankungsintervall lautet: P(μ−z_{1−α/2} σ/√n ≤ X̄ ≤ μ+z_{1−α/2} σ/√n) = 1−α.

Ist σ unbekannt, verwendet man die korrigierte Stichprobenvarianz S² = 1/(n−1) Σᵢ₌₁ⁿ (Xᵢ−X̄)². Dann gilt ((X̄−μ)/(S/√n)) ~ t_{n−1}, und das Intervall lautet: P(μ−t_{n−1;1−α/2} S/√n ≤ X̄ ≤ μ+t_{n−1;1−α/2} S/√n) = 1−α.

Für große Stichproben und unbekanntes σ wird näherungsweise die Standardnormalverteilung verwendet: P(μ−z_{1−α/2} S/√n ≤ X̄ ≤ μ+z_{1−α/2} S/√n) ≈ 1−α.

Für die Varianz σ² einer normalverteilten Grundgesamtheit gibt es zwei Fälle. Ist μ bekannt, dann verwendet man S² = 1/n Σᵢ₌₁ⁿ (Xᵢ−μ)², und nS²/σ² ist χ²_n-verteilt. Das Intervall lautet: P(χ²_{n;α/2} σ²/n ≤ S*² ≤ χ²_{n;1−α/2} σ²/n) = 1−α.

Ist μ unbekannt, verwendet man S² = 1/(n−1) Σᵢ₌₁ⁿ (Xᵢ−X̄)², und (n−1)S²/σ² ist χ²_{n−1}-verteilt. Das Intervall lautet: P(χ²_{n−1;α/2} σ²/(n−1) ≤ S*² ≤ χ²_{n−1;1−α/2} σ²/(n−1)) = 1−α. In beiden Fällen liegt das zentrale Schwankungsintervall für σ² nicht symmetrisch um σ².

Für einen Anteilswert π betrachtet man eine dichotome Zufallsvariable X, also eine Variable mit zwei möglichen Ergebnissen, etwa Erfolg oder Misserfolg. Die Anzahl der Erfolge bei n Ziehungen mit Zurücklegen ist binomialverteilt. Unter Approximationsbedingungen gilt für die Schätzfunktion Π = X/n näherungsweise Π ≈ N(π, √(π(1−π)/n)). Das zentrale Schwankungsintervall lautet: P(π−z_{1−α/2} √(π(1−π)/n) ≤ Π ≤ π+z_{1−α/2} √(π(1−π)/n)) ≈ 1−α.

Für praktische Rechnungen kann π(1−π) durch 1/4 abgeschätzt werden, weil 1/4 = max_{0≤π≤1} π(1−π). Alternativ ersetzt man π(1−π) durch p(1−p), wobei p der Anteilswert aus der Stichprobe ist.

Beispiele zur Genauigkeit

Ein Beispiel betrifft die mittlere Studiendauer in Semestern. Soll sie auf 0,1 Semester genau geschätzt werden und beträgt die Sicherheitswahrscheinlichkeit 1−α = 95 %, dann darf das zentrale Schwankungsintervall vom wahren Wert μ um nicht mehr als ±0,05 Semester abweichen. Die Länge des zentralen Schwankungsintervalls muss also 0,1 Semester betragen.

Da nicht bekannt ist, ob die mittlere Studiendauer normalverteilt ist, wird gerechnet: 0,1 = (μ + z_{1−α/2} s/√n) − (μ − z_{1−α/2} s/√n).

Mit z_{0,975} = 1,96 ergibt sich in Abhängigkeit von s der Stichprobenumfang n = 1536,64s². Bei s = 1 Semester müssen 1537 Studenten befragt werden. Bei s = 2 Semestern wären 6147 Studenten nötig. In diesem Beispiel hängt nur die Lage, nicht aber die Breite des zentralen Schwankungsintervalls vom wahren Parameter ab.

Ein zweites Beispiel betrifft Wahlumfragen. Üblicherweise werden etwa 1000 Wahlberechtigte befragt. Bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 1−α = 95 % ist die Länge des zentralen Schwankungsintervalls: (π + z_{1−α/2}/√(4n)) − (π − z_{1−α/2}/√(4n)) = 2z_{1−α/2}/√(4n) = z_{1−α/2}/√n.

Mit z_{0,975} = 1,96 und n = 1000 ergibt sich eine Länge von 0,062 = 6,2 %. Das bedeutet: Mit 95 % Wahrscheinlichkeit weicht der Anteilswert aus der Stichprobe um maximal ±3,1 % vom wahren Anteilswert π ab. Bei einem wahren Anteilswert von π = 50 % ergibt sich das zentrale Schwankungsintervall [46,9 %; 53,1 %].

Bezug zum Konfidenzintervall

Konfidenzintervalle werden direkt aus zentralen Schwankungsintervallen abgeleitet. Ausgehend von P(ϑ−cᵤ* √Var(θ) ≤ θ ≤ ϑ+cₒ* √Var(θ)) = 1−α formt man die Ungleichung um: zuerst durch Subtraktion von ϑ, dann durch Subtraktion von θ und Multiplikation mit −1. Dadurch erhält man: P(θ−cᵤ* √Var(θ) ≤ ϑ ≤ θ+cₒ* √Var(θ)) = 1−α.

Der Unterschied liegt vor allem in den Grenzen und in der Interpretation. Beim zentralen Schwankungsintervall sind die Grenzen für jede Stichprobe gleich, also feste Werte, weil sie um den unbekannten Parameter der Grundgesamtheit liegen. Beim Konfidenzintervall ändern sich die Grenzen bei jeder Stichprobe, sie sind also Zufallsvariablen.

Das zentrale Schwankungsintervall schließt den unbekannten Parameter der Grundgesamtheit ein und gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der aus der Stichprobe geschätzte Parameter im Intervall enthalten ist. Das Konfidenzintervall schließt dagegen den geschätzten Parameter der Stichprobe ein und gibt an, welcher Anteil der Schätzintervalle den wahren Parameter enthalten.