Wirbel (Strömungslehre)

Grundidee und Bedeutung

Ein Wirbel oder Vortex ist in der Strömungsmechanik eine drehende Bewegung von Fluidelementen um eine gerade oder geschwungene Drehachse. Der Begriff ist eher anschaulich als mathematisch präzise definiert. Ein Strudel ist ein Sonderfall eines Wirbels.

In Fluiden mit niedriger Viskosität, etwa Luft und Wasser, ist bei großen Wirbeln die Fließgeschwindigkeit im Zentrum am größten und nimmt umgekehrt proportional zum Abstand vom Zentrum ab. Die Wirbelstärke ist im Zentrum groß und außen fast null; dort drehen sich Fluidelemente kaum um sich selbst. Der Druck verhält sich umgekehrt und ist im Zentrum am niedrigsten. Wirbel bilden häufig lange Wirbelröhren, die sich mit der Strömung bewegen sowie winden, biegen und strecken können. Sie sind wichtig für Meteorologie, Aerodynamik und Aeroakustik.

Entstehung und Bewegung

Wirbel können durch gekrümmte Wände, äußere Kräfte, die Erhaltung des Drehimpulses oder durch den Ausgleich unterschiedlicher Fluideigenschaften entstehen. Runde Begrenzungen und Stufensprünge können Strömungen im Kreis leiten. Bei Fahrzeugen bilden sich beispielsweise durch Strömungsabrisse an der A-Säule eines Autos oder an einem Zylinder dauerhafte Wirbel. Luftwirbel können auch hörbaren Schall erzeugen.

Trägheitskräfte erzeugen Wirbel in als Ganzes rotierenden Fluiden wie der Erdatmosphäre. Durch den Corioliseffekt werden Strömungen in Kreisbewegungen abgelenkt; Hoch- und Tiefdruckgebiete, der polare Vortex und der Jetstream sind solche Wirbel. Strömt ein Fluid mit Drehimpuls auf ein Zentrum zu, zwingt die Drehimpulserhaltung es zunächst auf eine Kreisbahn. So entstehen protoplanetare Scheiben aus Staub und Gas um junge Sterne.

Treffen Fluidmassen mit genügend unterschiedlichen Temperaturen, Geschwindigkeiten oder Dichten aufeinander, können an ihren Grenzflächen Instabilitäten entstehen. Beispiele sind die Kelvin-Helmholtz-Instabilität zwischen unterschiedlich schnellen Strömungen und die Rayleigh-Taylor-Instabilität zwischen unterschiedlich schweren Flüssigkeiten. Die entstehenden Wirbel mischen die Massen und gleichen das Gefälle aus. Bleibt es durch äußere Einflüsse erhalten, können andauernde Konvektionszellen entstehen, etwa Passatwind, Walker-Zirkulation oder die Konvektionszone der Sonne.

Wirbel sind oft nicht stationär: Sie können ihre Form ändern und sich fortbewegen. Fluidelemente folgen dann Schraubenlinien oder Zykloiden; die Wirbellinie, also die zur Stromlinie analoge Drehachse, kann gebogen und beweglich sein. Radiale Strömung zum Zentrum hin oder von ihm weg führt zu Strudeln und Spiralen. Ohne radiale Geschwindigkeitskomponente heißt ein rein kreisender Wirbel quellenfrei.

Druck, Energie und Turbulenz

In einer stationären Strömung eines niedrigviskosen Fluids ist bei vernachlässigten äußeren Kräften entlang einer Stromlinie die Summe aus kinetischer Energie und statischem Druck, der Totaldruck, konstant. Weil die Geschwindigkeit in großen Wirbeln zum Zentrum zunimmt, sinkt dort der statische Druck. Bei realen Gasen sinkt in konstantem Volumen mit dem Druck auch die Temperatur. Dadurch können Wirbelzentren durch Kondensation sichtbar werden. Bei den Randwirbeln an Flugzeugflügelspitzen ist die Wirbelstärke am größten; zum Rumpf hin werden die Wirbelröhren schwächer und weniger klar abgegrenzt.

Wirbel sind Hauptbestandteile turbulenter Strömungen, aber nicht jeder Wirbel ist turbulent. Nach den Reynolds-Gleichungen wird die Geschwindigkeit in einen zeitunabhängigen Mittelwert und einen statistischen Schwankungswert zerlegt. Der Schwankungswert erfasst zufällige, fluktuierende Wirbel, der Mittelwert stationäre Wirbel.

Ein Übergangsfall ist die Kármánsche Wirbelstraße hinter einem Zylinder. Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit bildet sich zunächst ein stationärer Wirbelring, der wächst und instabil wird. Danach lösen sich abwechselnd links- und rechtsdrehende Wirbel in einem charakteristischen Muster ab. Bei weiter steigender Geschwindigkeit wird die Strömung turbulent; es treten mehr Wirbel auf und der Strömungswiderstand steigt. Bei voll ausgebildeter Turbulenz gibt es Wirbel auf allen Größenskalen. Bei Re ≈ 3·10^{5} wird auch die Grenzschicht turbulent und der Widerstand fällt abrupt ab, bevor er wieder ansteigt.

Wirbelsätze

Für viskositätsfreie Fluide gelten Wirbelsätze. Viskositätsfreiheit ist bei realen Gasen bei niedrigen Drücken und hohen Temperaturen eine brauchbare Annahme. Die Helmholtz’schen und der Kelvin’sche Wirbelsatz benötigen außerdem Barotropie, die bei Inkompressibilität oder bei ausschließlich isothermen oder nur isentropen Zustandsänderungen vorliegt.

Die Helmholtzschen Wirbelsätze besagen: Ohne wirbelanfachende äußere Kräfte bleiben wirbelfreie Gebiete wirbelfrei. Fluidelemente auf einer Wirbellinie verbleiben auf dieser materiellen Linie. Die Zirkulation entlang einer Wirbelröhre bleibt konstant; deshalb kann eine Wirbellinie nicht im Fluid enden, sondern ist geschlossen, unendlich oder reicht bis zum Rand.

Nach dem Kelvinschen Wirbelsatz ist die Zirkulation entlang eines mit der Strömung mitschwimmenden Rings aus Fluidelementen zu allen Zeiten konstant. Der Croccosche Wirbelsatz sagt: In einem konservativen Kraftfeld wie dem Schwerefeld der Erde ist eine wirbelfreie stationäre Strömung homentrop. Umgekehrt sind nicht homentrope, aber homenergetische stationäre Strömungen wirbelbehaftet.

In realen Fluiden verringert Viskosität Scherungen im Kern und dissipiert Rotationsenergie. Daher nehmen Zirkulation und Wirbel mit der Zeit ab. Dennoch können Wirbel nach dem zweiten Helmholtzschen Wirbelsatz Fluidelemente mitführen und dadurch Masse, Drehimpuls und Energie über Entfernungen transportieren, die ein Mehrfaches ihrer Größe betragen können, etwa Rauchringe.

Wichtige Wirbelmodelle

Der Potentialwirbel oder freie Wirbel ist eine rotationsfreie Potentialströmung und beschreibt große Wirbel in Fluiden niedriger Viskosität gut, beispielsweise einen Badewannenablauf fern vom Ausfluss oder näherungsweise einen Tornado. Seine Winkelgeschwindigkeit ist im Zentrum am größten, der Druck dort am kleinsten. Außerhalb des Zentrums gilt für das Geschwindigkeitsfeld \vec v: |\operatorname{rot}\,\vec v|=0. Genau genommen gilt dies nur für (x,y)\neq \operatorname{0}; unter Einbezug des Zentrums gilt \operatorname{rot}\,\vec v=\vec\Phi_0\cdot\delta(x,y). Lokal ist dieser Wirbel daher nicht sicher von einer Scherschicht zu unterscheiden.

Ein Festkörperwirbel entsteht etwa, wenn sich eine Flüssigkeit in einem Gefäß auf einem Drehteller lange genug mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \omega dreht. Mitbewegte Teilchen drehen sich um ihre eigene Achse, ohne sich zu verformen, und es gilt |\operatorname{rot}\,\vec v|=2\omega\neq0. Anders als beim Potentialwirbel ist die Geschwindigkeit außen am größten; außen ist der Druck am niedrigsten.

Der Rankine-Wirbel nach William John Macquorn Rankine verbindet außen einen Potentialwirbel mit einem Festkörperwirbel im Zentrum. Unterhalb des Kernradius r_0 verhindern Zähigkeitskräfte die unrealistisch hohen Schergeschwindigkeiten des Potentialwirbels. Dort ist die Umfangsgeschwindigkeit proportional zum Radius und die Rotation \omega konstant ungleich null. In realen Fluiden ist der Übergang glatt, nicht abrupt.

Der Hamel-Oseen’sche Wirbel von Carl Wilhelm Oseen und Georg Hamel erfüllt die Navier-Stokes-Gleichungen exakt. Er ist rein kreisförmig, aber instationär: Viskosität baut seine kinetische Energie ab und die Geschwindigkeit nimmt monoton mit der Zeit ab. Zu Beginn oder bei verschwindender Viskosität entspricht er einem Potentialwirbel; sonst ist sein beschränktes Geschwindigkeitsprofil im Kern und außen mit einem Rankine-Wirbel vergleichbar.

Auf Wirbeln beruhende Gravitationstheorien von René Descartes im 17. Jahrhundert und das genauere Modell von Christiaan Huygens sind heute überholt.