Wellenwiderstand

Grundidee und elektromagnetische Feldwellen

Der Wellenwiderstand, auch Impedanz oder Wellenimpedanz genannt, beschreibt bei einer Welle das Verhältnis zweier zusammengehöriger Größen: bei elektromagnetischen Wellen das Verhältnis von elektrischer zu magnetischer Feldstärke, bei Leitungswellen das Verhältnis von Spannung zu Strom und bei Schallwellen das Verhältnis von Schalldruck beziehungsweise mechanischer Spannung zur Schallschnelle. Treffen Wellen auf ein anderes Medium oder auf eine Änderung der Leitung, bestimmen die beteiligten Wellenwiderstände, welcher Anteil reflektiert und welcher übertragen wird. Der Begriff wird deshalb in Optik, Elektrotechnik, Akustik und Mechanik verwendet.

In einem homogenen isotropen Medium heißt die Größe Feldwellenwiderstand. Sie ist unabhängig von der Geometrie und für eine ebene elektromagnetische Welle als Verhältnis der Amplituden E₀ und H₀ definiert: Z_w = E₀/H₀ = √(μ/ε) = √(μ₀μ_r/(ε₀ε_r)). Dabei sind μ₀ und ε₀ die magnetische beziehungsweise elektrische Feldkonstante, μ_r die Permeabilitätszahl und ε_r die Permittivitätszahl des Mediums. μ_r und ε_r können von der Frequenz abhängen. Bei leitenden Stoffen spielen außerdem Leitfähigkeit σ, Kreisfrequenz ω und die imaginäre Einheit j eine Rolle: Z_w = √(jωμ₀μ_r/(σ + jωε₀ε_r)). Für einen nicht leitenden Stoff mit σ = 0 ergibt sich wieder Z_w = √(μ/ε).

Im Vakuum gelten ε_r = μ_r = 1 und σ = 0. Damit ist der reelle Freiraumwellenwiderstand Z₀ = √(μ₀/ε₀) = μ₀c = 376,730 313 412(59) Ω. Für Luft mit ε_r ≈ 1,00059 beträgt der Feldwellenwiderstand ungefähr 376,62 Ω und unterscheidet sich daher nur wenig vom Vakuumwert.

Leitungswellenwiderstand, Abschluss und Impulse

Der Leitungswellenwiderstand Z_l, auch Kabelimpedanz, Nennimpedanz oder characteristic impedance, kennzeichnet eine längshomogene Leitung aus mindestens zwei Leitern. Er gibt das Verhältnis von Spannungs- und Stromwellen an, die sich in dieselbe Richtung ausbreiten. Er ist kein eingebautes Bauteil und nicht mit dem ohmschen Leitungswiderstand zu verwechseln: Der ohmsche Widerstand beschreibt Wärmeverluste, während Z_l das natürliche Spannungs-Strom-Verhältnis der Welle angibt. Anschaulich entspricht Z_l dem Eingangswiderstand einer unendlich langen homogenen Leitung, von deren Ende keine Welle zurückkehrt.

Auf einem homogenen Leitungsabschnitt wird die Ausbreitung durch die Fortpflanzungskonstante bestimmt. Abrupte Änderungen des Wellenwiderstands und Fehlanpassungen an den Enden erzeugen dagegen Reflexionen. Das ist wichtig bei hohen Frequenzen, steilen Signalflanken, langen Hochspannungsleitungen, Schaltvorgängen, Blitzeinschlägen und Fehlerfällen. Entscheidend ist die Frequenz im Verhältnis zum Kehrwert der Signallaufzeit; deshalb muss neben der Frequenz auch die Leitungslänge berücksichtigt werden.

Schließt man eine Leitung mit einer Last ab, deren Impedanz gleich Z_l ist, erscheint am Eingang unabhängig von der Leitungslänge derselbe Widerstand. Man nennt die Leitung angepasst oder reflexionsfrei abgeschlossen. Bei einem anderen Abschluss hängt ihre komplexe Eingangsimpedanz von Leitungslänge, Frequenz, Abschlussimpedanz und Z_l ab. Für bidirektionale Datenleitungen wie USB kann die Anpassung von Quelle, Leitung und Last nötig sein, um Echos in beiden Richtungen zu vermeiden. Diese Leistungsanpassung begrenzt den Wirkungsgrad auf höchstens 50 %. Soll der Wirkungsgrad höher sein, genügt eine Anpassung am Leitungsende; die Quelle kann eine kleinere Impedanz besitzen. Der Sender Wachenbrunn erreichte so 85 % Wirkungsgrad.

Ein Spannungspuls wird bei offenem Leitungsende gleichphasig reflektiert; der Gesamtstrom am Ende ist I = 0. Bei einem Kurzschluss wird der Spannungspuls gegenphasig, der Strompuls gleichphasig reflektiert; dort gilt I = 2·I_hinlaufend. Bei einem Abschluss mit Z_l gibt es keine Reflexion, sofern Abschluss und Leitungswellenwiderstand über das gesamte Frequenzspektrum des Pulses übereinstimmen. Bei Fehlanpassung kann der Puls zwischen Last und Quelle mehrfach hin- und herlaufen, bis seine Energie durch Verluste in Wärme umgewandelt ist.

Leitungsmodell, Frequenzverhalten und Bauformen

Ein infinitesimal kurzer Leitungsabschnitt dx wird durch vier längenbezogene Beläge beschrieben: Induktivitätsbelag L′, Kapazitätsbelag C′, Widerstandsbelag R′ und Ableitungsbelag G′. Für sinusförmige Signale gelten die Leitungsgleichungen dU/dx = −(R′ + jωL′)I und dI/dx = −(G′ + jωC′)U. Daraus folgen die Fortpflanzungskonstante γ = √((R′ + jωL′)(G′ + jωC′)) und die allgemeine Spannungslösung U = a₁e^(−γx) + a₂e^(γx). Die beiden Terme stehen für Wellen in entgegengesetzten Richtungen. Der Leitungswellenwiderstand ist Z_l = √((R′ + jωL′)/(G′ + jωC′)). Enger beieinanderliegende Leiter und größere Leiterquerschnitte ergeben einen kleineren Z_l.

Das Frequenzverhalten lässt sich in drei Bereiche einteilen:

• Bei Gleichstrom, also 0 Hz, gilt Z_l = √(R′/G′). Im Idealfall G′ = 0 wäre der Wert unendlich; typische Werte liegen zwischen 100 kΩ und einigen 10 MΩ.

• Bei niedrigen Frequenzen dominieren häufig R′ und C′. Näherungsweise gilt Z_l = √(R′/(jωC′)) = √(R′/(2ωC′))·(1 − j). Dieser komplexe Widerstand ist unter anderem für Niederfrequenz- und Telefonleitungen wichtig.

• Bei hohen und sehr hohen Frequenzen sind R′ und G′ gegenüber jωL′ und jωC′ meist nachrangig. Dann gilt für die angenähert verlustlose Leitung Z_l = √(L′/C′). Häufig kann oberhalb von 20 kHz mit einem konstanten reellen Wert gerechnet werden. Bei GHz-Frequenzen nehmen R′ durch den Skineffekt und G′ durch dielektrische Verluste zu, bleiben für Z_l aber meist untergeordnet. Dispersion des Isolierstoffs kann dennoch eine geringe Frequenzabhängigkeit verursachen.

Feld- und Leitungswellenwiderstand bestehen in einer Leitung gleichzeitig: Z_w beschreibt das Verhältnis von elektrischem zu magnetischem Feld und hängt nur vom Material ab; Z_l beschreibt das Verhältnis von Spannung zu Strom und hängt zusätzlich von der Leitergeometrie ab. Für ein Koaxialkabel bei hohen Frequenzen und μ_r = 1 gilt Z_l = Z₀/(2π√ε_r) · ln(D/d), wobei D und d die maßgeblichen Leiterdurchmesser sind. Für eine Zweidrahtleitung gilt Z_l = (120 Ω/√ε_r)·arcosh(a/d) beziehungsweise Z_l = (1/π)Z_w·arcosh(a/d).

Typische Koaxialwerte folgen aus verschiedenen Optimierungszielen: Die geringste ohmsche Dämpfung liegt bei ε_r = 1 bei 77 Ω, weshalb Fernsehleitungen 75 Ω verwenden. Die größte übertragbare Leistung liegt bei etwa 30 Ω. 50 Ω ist ein Kompromiss, denn 50 Ω ≈ √(30·77) Ω. Bei Polyethylen mit ε_r ≈ 2,3 liegt das Dämpfungsminimum bei 51 Ω; Labormessleitungen haben daher meist 50 Ω. Ältere Antennen-Zweidrahtleitungen besitzen 240 Ω, andere Zweidrahtleitungen üblicherweise etwa 100 bis 200 Ω.

Messung elektrischer Leitungen

Der Leitungswellenwiderstand kann aus zwei Wechselstrommessungen bestimmt werden. Man misst die Impedanz Z₀ der offenen Leitung, die sich kapazitiv verhält, und die Impedanz Z_k der kurzgeschlossenen Leitung, die sich induktiv verhält. Dann gilt: Z_l = √(Z₀·Z_k). Die ebenfalls verwendete Bezeichnung Z_w kann zu Verwechslungen mit dem verwandten, aber nicht gleichen Feldwellenwiderstand führen.

Eine zweite Möglichkeit ist ein Zeitbereichsverfahren mit Impulsgenerator und Oszilloskop, wie es in einem Zeitbereichsreflektometer (TDR) verwirklicht ist. Eine dritte Methode misst bei kurzgeschlossenem Ende die Induktivität L und bei offenem Ende die Kapazität C eines kurzen Kabelstücks; anschließend wird Z_l = √(L/C) berechnet. Dieses Ergebnis ist nur zuverlässig, wenn das Kabelstück sehr viel kürzer als ein Viertel der Wellenlänge der Messfrequenz im Kabel ist.

Akustische Impedanz und Impedanztransformation

Für Schall im unbegrenzten Freiraum entspricht die Schallkennimpedanz Z_F dem elektromagnetischen Feldwellenwiderstand. Im Fernfeld sind Schalldruck und Schallschnelle phasengleich; daher ist Z_F reell und beträgt Z_F = ρc, mit der Dichte ρ und der Schallgeschwindigkeit c des Mediums. Die Einheit ist Ns/m³, Pa·s/m oder kg/(s·m²). Im Nahfeld besteht ein Restphasenwinkel, sodass Z_F komplex ist. Angegebene Werte sind 110 kg/(m²·s) für Wasserstoff, 413,5 bei 20 °C für Luft, 1,48·10⁶ bei 0 °C für Wasser, 19,7·10⁶ für Quecksilber und 104,2·10⁶ für Wolfram.

Begrenzungen verändern die Impedanz bereits in einem fließenden Übergangsbereich von ungefähr einer Wellenlänge. In einem zylindrischen Rohr verwendet man die akustische Flussimpedanz Z_A, also den Quotienten aus Schalldruck p und Schallfluss q. Bewegen sich alle Teilchen im Querschnitt A mit gleicher Schallschnelle v und ohne stehende Wellen, gilt Z_A = p/q = p/(vA). Ihre Einheit ist Pa·s/m³.

Bei einem veränderlichen Rohrquerschnitt gilt diese einfache Beziehung nicht unverändert: Der Kanal wirkt als Impedanztransformator. Schalltrichter in Hornlautsprechern, Sprachrohren, Trompeten und Makrofonen wandeln Schalldruck wirksam in Schallschnelle um und erhöhen dadurch die Lautstärke. Ein Hörrohr nutzt den Vorgang umgekehrt, indem es Schall sammelt und am Trommelfell konzentriert. Engmensurierte Trichter geben weniger Energie ab und reflektieren mehr Energie zur Bildung stehender Wellen; solche Instrumente sprechen leicht an. Weitmensurierte Trichter strahlen durch gleichmäßigere Anpassung lauter ab, reflektieren aber weniger Energie und sprechen schwerer an.

Bei einem beiderseits offenen Rohr von 325 mm Länge wurden scharfe Impedanzminima bei Vielfachen von 500 Hz gemessen; aus Länge und Schallgeschwindigkeit folgt ein Sollwert von 528 Hz. Das tiefste Minimum betrug etwa 40.000 Pa·s/m³. Mit dem Rohrquerschnitt ergaben sich 7 N·s/m³, deutlich weniger als die Schallkennimpedanz der Luft von 413,5 N·s/m³. Diese Fehlanpassung ist bei einem Rohrdurchmesser von 15 mm gegenüber der Wellenlänge groß, weshalb die Luftsäule nur leise hörbar ist. Trichter verringern diese Fehlanpassung; entsprechend können große Hörner auch den geringen Wirkungsgrad von Lautsprechern verbessern.

Reflexion, Transmission und Anpassung

An jeder Änderung des Wellenwiderstands kann eine Welle teilweise oder vollständig reflektiert werden. Je größer der Impedanzunterschied, desto stärker ist im Allgemeinen die Reflexion. Offene und geschlossene Enden sind Extremfälle mit nahezu vollständiger Reflexion: beim Kabel entsprechen ihnen Leerlauf und Kurzschluss, beim Hohlleiter ein offenes beziehungsweise leitfähig verschlossenes Ende, beim Seil ein freies beziehungsweise befestigtes Ende und beim Schallrohr ein offenes Ende beziehungsweise ein Stopfen. Beim Leitungskurzschluss wechselt die reflektierte Spannung ihr Vorzeichen; dies entspricht einem Phasensprung von 180°. Hin- und rücklaufende Wellen können stehende Wellen bilden.

Typische teilweise Reflexionen entstehen etwa an einer Schallwelle auf weichem Karton, an Inhomogenitäten und unstetigen Übergängen in Koaxialleitungen, an Licht auf einer schmutzigen Glasscheibe, an Radarwellen in einer Wolke oder an Wasserwellen auf Tetrapoden. Nahezu vollständige Reflexion findet unter anderem bei einem Echo an einer harten Wand, einem offenen oder kurzgeschlossenen Koaxialkabel, Licht an einem Spiegel oder einer Wasserwelle an einer Kliffküste statt.

Völlige Reflexionsfreiheit erfordert eine genaue Übereinstimmung der Wellenimpedanzen auf beiden Seiten einer Grenze. Fehlen geeignete Materialien, kann eine passende Form den Übergang verbessern. Beispiele sind absorbierende Wände eines reflexionsarmen Raums, der Schalltrichter eines Grammofons, Exponential- und Kugelwellenhörner, Antireflexbeschichtungen sowie ein Wellensumpf im Hohlleiter. Bei einem Sender können Quellwiderstand, beispielsweise 50 Ω Leitungswellenwiderstand und Antenneneingang aufeinander abgestimmt werden.

Auch medizinischer Ultraschall nutzt Impedanzunterschiede gezielt: Luft zwischen Sonde und Haut würde wegen des starken Unterschieds zu wasserhaltigem Gewebe viel Schall reflektieren. Deshalb koppelt ein stark wasserhaltiges Gel die Sonde an. Im Körperinneren sind Impedanzunterschiede dagegen erwünscht, weil nur reflektierende Grenzflächen kontrastreiche Bilder liefern.