Wahrscheinlichkeitsnetz

Zweck und Aufbau

Ein Wahrscheinlichkeitsnetz, auch Wahrscheinlichkeitspapier genannt, ist ein Diagramm zur Prüfung, ob die Daten eines statistischen Merkmals zu einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung passen. Auf der Abszisse, also der waagerechten Achse, werden die Quantile beziehungsweise Schwellenwerte der Verteilung in gleichen Abständen eingetragen. Auf der Ordinate, der senkrechten Achse, stehen die zugehörigen Werte der Verteilungsfunktion in linearisierter Form.

Die Skalierung ist so gewählt, dass die Wertepaare aus Quantil und Verteilungswert eine Gerade bilden, wenn die untersuchten Daten der angenommenen Verteilung folgen. Dadurch lässt sich die Übereinstimmung grafisch beurteilen. Das Verfahren war besonders vor Einführung der elektronischen Datenverarbeitung ein verbreitetes Hilfsmittel für eine schnelle Verteilungsprüfung. Am bekanntesten ist das Wahrscheinlichkeitsnetz für die Normalverteilung; auch die Weibull-Verteilung kann auf Wahrscheinlichkeitspapier dargestellt werden.

Normalverteilung und Linearisierung

Für die Standardnormalverteilung werden auf der Abszisse die Quantile x einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen abgetragen. Auf der Ordinate stehen nicht unmittelbar die x-Werte, sondern die zugehörigen Werte der Verteilungsfunktion

Φ(x) = 1/√(2π) · ∫ von −∞ bis x e^(−t²/2) dt.

Die Verteilungsfunktion Φ(x) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine standardnormalverteilte Zufallsvariable höchstens den Wert x annimmt. Die Skalenstriche der Ordinate werden so angeordnet, dass die Abstände zwischen den Verteilungsfunktionswerten rechnerisch gleich groß sind. Diese besondere Skalierung ergibt das typische Muster des Gaußschen Wahrscheinlichkeitsnetzes.

Durch die Linearisierung liegen die Wertepaare (x; Φ(x)) auf einer Geraden. Deshalb kann man mit Wahrscheinlichkeitspapier entweder eine solche Verteilungsfunktion einfach zeichnen oder prüfen, ob vorliegende Wertepaare zu einer Normalverteilung passen. Im Artikel wird als Beispiel eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 20 genannt.

Praktische Prüfung von Daten

Für eine praktische Prüfung werden die n erhobenen Beobachtungswerte xᵢ zunächst der Größe nach geordnet. Die aufsteigend sortierten Werte werden mit x₍₁₎, x₍₂₎, …, x₍ₙ₎ bezeichnet. Anschließend erhält jeder Wert einen geschätzten Wert der empirischen Verteilungsfunktion. Diese beschreibt, welcher Anteil der Beobachtungen höchstens so groß wie der jeweilige Wert ist.

Im einfachsten Fall verwendet man:

• F(x₍ᵢ₎) = i/n

Damit werden den geordneten Beobachtungen die Werte 1/n, 2/n, …, 1 zugeordnet. Daneben gibt es verschiedene Schätzformeln:

• F(x₍ᵢ₎) = (3i − 1)/(3n + 1) = (i − 1/3)/(n + 1/3) nach Rossow

• F(x₍ᵢ₎) = (i − 0,375)/(n + 0,25) nach Blom

• F(x₍ᵢ₎) = (i − 0,5)/n

• F(x₍ᵢ₎) = i/(n + 1) nach Weibull sowie Gumbel

Die n Wertepaare (x₍ᵢ₎, F(x₍ᵢ₎)) für i = 1, …, n werden in das Wahrscheinlichkeitsnetz eingetragen. Liegen die Punkte annähernd auf einer Geraden, kann vermutet werden, dass die Grundgesamtheit, aus der die Daten stammen, normalverteilt ist. Mittelwert und Standardabweichung lassen sich dann als geschätzte Parameter direkt aus dem Wahrscheinlichkeitspapier ablesen.