Vedische Mathematik (Rechenmethoden)

Einordnung und Grundidee

Vedische Mathematik bezeichnet Rechenregeln, die Bharati Krishna Tirthaji (1884–1960) nach eigener Darstellung zwischen 1911 und 1918 aus dem Veda herausarbeitete. Sie wurden 1965 nach seinem Tod veröffentlicht und sollen auf einem verlorenen Anhang des Atharvaveda beruhen. Diese Herkunft wird jedoch bestritten: Tirthaji konnte keine Belege dafür anführen, und Kritiker weisen darauf hin, dass keine Sutras aus der vedischen Periode mit diesen Regeln übereinstimmen. Es gibt außerdem tatsächlich überlieferte Mathematik aus dem vedischen Schrifttum; dazu werden die Sulbasutras genannt.

Das Verfahren umfasst 16 Sutras (Regeln) und 14 Sub-Sutras. Es ähnelt der Trachtenberg-Schnellrechenmethode, weil es bestimmte Rechnungen beschleunigen soll. Befürworter betonen die schnelle Anwendung und meinen, für Multiplikationen genüge das kleine Einmaleins bis 5. Kritiker bestreiten neben der Bezeichnung „vedisch“ auch, ob die Regeln als „Mathematik“ bezeichnet werden sollten.

Grundregeln

Zu den 16 Sutras gehören unter anderem „Eins mehr als der davor“, „Alle von 9 und die letzte von 10“, „Vertikal und kreuzweise“, „Stelle um und wende an“, „Bei Addition und bei Subtraktion“ sowie „Alle Multiplikatoren“.

Die 14 Sub-Sutras enthalten beispielsweise „Proportionalität“, „Ziehe die Differenz ab“, „Nur die Letzten“, „Die Summe des Produkts“ und „Mit dem Symbol“. Die Regeln werden für Rechenverfahren wie Subtraktion, Multiplikation, Division und Bruchrechnung verwendet.

Subtraktion

Für die Subtraktion einer Zahl von einer Zehnerpotenz verwendet man die Regel „Alle von 9 und die letzte von 10“: Zu jeder Ziffer bildet man die Differenz zu 9, bei der letzten Ziffer die Differenz zu 10. So gilt: 10.000 − 4.856 → 9 − 4 | 9 − 8 | 9 − 5 | 10 − 6 = 5.144.

Beliebige Zahlen können auch durch Ergänzung subtrahiert werden: Man erhöht oder verringert beide Zahlen um denselben Betrag, sodass der Subtrahend eine glatte Zahl wird. Beispiel: 664 − 147 wird durch Erhöhen beider Zahlen um 3 zu 667 − 150 = 517.

Multiplikation

Beim Sonderfall gleicher erster Ziffern und letzter Ziffern mit Summe 10 wird die gemeinsame erste Ziffer mit ihrem Nachfolger multipliziert; dies liefert den vorderen Teil. Das Produkt der letzten Ziffern liefert den hinteren Teil. Für 32 · 38 gilt daher: 3 · (3 + 1) = 12 und 2 · 8 = 16, also 32 · 38 = 1216.

Das Quadrieren einer Zahl mit Endziffer 5 ist ein Sonderfall: Der rechte Teil ist immer 25, während der linke Zahlenteil mit seinem Nachfolger multipliziert wird. Daher ist 35² = 3 · 4 | 25 = 1225 und 125² = 12 · 13 | 25 = 15625.

Beliebige zweistellige Zahlen lassen sich mit „vertikal und kreuzweise“ multiplizieren. Man berechnet von rechts nach links das Produkt der rechten Ziffern, dann die Summe der Kreuzprodukte und schließlich das Produkt der linken Ziffern. Überträge werden von rechts nach links weitergegeben. Bei 56 · 23 entstehen 6 · 3 = 18, 5 · 3 + 2 · 6 = 27 und 5 · 2 = 10; nach den Überträgen ergibt sich 1288.

Für Zahlen nahe bei einer Zehnerpotenz gilt allgemein: x*y = (x+(y-10^n))*10^n+(x-10^n)(y-10^n). Liegen beide Zahlen unter der Zehnerpotenz, werden ihre Abstände zur Potenz kreuzweise abgezogen und miteinander multipliziert: 998 · 889 = 887 | 222 = 887222. Liegen beide darüber, werden die positiven Abstände kreuzweise addiert: 105 · 102 = 107 | 10 = 10710. Liegt eine Zahl darunter und eine darüber, können negative Überträge auftreten: 88 · 102 ergibt zunächst 90 | −24; durch −24 + 100 = 76 und einen Übertrag von −1 entsteht 8976.

Für die Multiplikation mit 11 wird eine Zahl um eine Stelle versetzt zweimal geschrieben und ziffernweise addiert. So ist 423 · 11 = 4653. Bei 857 · 11 sind Überträge nötig; das Ergebnis lautet 9427.

Division durch 9 und Brüche

Bei der Division durch 9 ist die erste Ziffer des Quotienten die erste Ziffer der Ausgangszahl. Jede folgende Quotientenziffer entsteht aus der Summe der vorherigen Ergebnisziffer und der nächsten Ziffer der Ausgangszahl; Überträge werden berücksichtigt. Die Quersumme der Ausgangszahl ergibt den Rest. Ist dieser größer als 9, muss er weiter geteilt oder durch Übertragen verringert werden. Beispiele: 78 : 9 = 8, Rest 6; 123 : 9 = 13, Rest 6; 791 : 9 = 87, Rest 8.

Für Addition und Subtraktion von Brüchen wird „vertikal und kreuzweise“ verwendet. Der Nenner ist das Produkt der Nenner. Beim Zähler werden die Kreuzprodukte addiert beziehungsweise subtrahiert: a/b + c/d = (a·d + b·c)/(b·d) und a/b − c/d = (a·d − b·c)/(b·d). Damit gilt 2/3 + 1/5 = 13/15 sowie 6/7 − 2/3 = 4/21.