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Unabhängige Mengensysteme
Die Unabhängigkeit von Mengensystemen ist eine Verallgemeinerung der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen und dient zur Definition der stochastischen …
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Grundidee und Definition
Unabhängige Mengensysteme sind ein Grundbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Unabhängigkeit von Mengensystemen verallgemeinert die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen und bildet die Grundlage dafür, die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen zu definieren. Sie tritt deshalb in vielen Voraussetzungen wichtiger Sätze der Statistik und Stochastik auf.
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝒜, P). Dabei ist 𝒜 eine σ-Algebra auf der Grundmenge Ω und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit P: 𝒜 → [0;1]. Für eine beliebige Indexmenge I sei zu jedem i ∈ I ein Mengensystem 𝓔ᵢ ⊆ 𝒜 gegeben.
Die Familie (𝓔ᵢ)ᵢ∈I heißt unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge J ⊆ I und jede Auswahl von Ereignissen Eⱼ ∈ 𝓔ⱼ für alle j ∈ J gilt:
P(⋂ⱼ∈J Eⱼ) = ∏ⱼ∈J P(Eⱼ).
Die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens der ausgewählten Ereignisse ist also gleich dem Produkt ihrer einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Entscheidend ist, dass diese Bedingung für jede endliche Auswahl von Indizes und Ereignissen erfüllt sein muss.
Typische Beispiele
Sind 𝓔₁ = {A} und 𝓔₂ = {B}, bestehen die Mengensysteme jeweils nur aus einem Ereignis. Dann sind sie genau dann unabhängig, wenn die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind. Für I = {1,2} müssen die Teilmengen J = {1}, J = {2} und J = {1,2} betrachtet werden; der Fall J = ∅ ist trivial.
Für J = {1} lautet die Bedingung P(A) = P(A), weil das Mengensystem einelementig ist. Entsprechend ist die Bedingung für J = {2} immer erfüllt. Für J = {1,2} bleibt die eigentliche Unabhängigkeitsbedingung:
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Allgemein gilt: Ist (Aᵢ)ᵢ∈I eine Familie von Ereignissen und setzt man 𝓔ᵢ = {Aᵢ}, dann ist die Familie der Mengensysteme genau dann unabhängig, wenn die Familie der Ereignisse unabhängig ist. Diese Äquivalenz wird teilweise selbst als Definition der Unabhängigkeit von Ereignissen verwendet.
Eine σ-Algebra 𝒪 heißt P-trivial, wenn für jedes A ∈ 𝒪 entweder P(A) = 0 oder P(A) = 1 gilt. Eine P-triviale σ-Algebra ist von jedem anderen Mengensystem 𝓜 unabhängig. Bei P(A) = 0 ist P(A ∩ B) = 0 = P(A) · P(B); bei P(A) = 1 gilt P(A ∩ B) = 1 · P(B) für jedes B ∈ 𝓜.
Wichtige Eigenschaften
Eine unabhängige Familie kann zusammengefasst werden. Ist (Iₖ)ₖ∈K eine disjunkte Zerlegung von I, also sind die Mengen Iₖ paarweise disjunkt und gilt ⋃ₖ∈K Iₖ = I, dann ist auch die Familie
(⋃ᵢ∈Iₖ 𝓔ᵢ)ₖ∈K
unabhängig. Mehrere ursprüngliche Mengensysteme dürfen somit zu einem neuen Mengensystem vereinigt werden, sofern die zugehörigen Indexmengen eine disjunkte Zerlegung bilden.
Für eine endliche Indexmenge I genügt unter einer zusätzlichen Voraussetzung eine einzige Überprüfung: Wenn jedes 𝓔ᵢ die Obermenge Ω enthält, sind die Mengensysteme genau dann unabhängig, wenn für alle Eᵢ ∈ 𝓔ᵢ gilt
P(⋂ᵢ∈I Eᵢ) = ∏ᵢ∈I P(Eᵢ).
Die Bedingungen für echte Teilmengen J ⊂ I folgen dann automatisch, indem man für alle i ∈ I \ J das Ereignis Eᵢ = Ω setzt.
Eine weitere Vereinfachung gilt, wenn für jedes i ∈ I das Mengensystem 𝓔ᵢ ∪ {∅} durchschnittsstabil ist. Durchschnittsstabil bedeutet, dass der Durchschnitt zweier Mengen aus dem System wieder im System liegt. In diesem Fall sind die Mengensysteme (𝓔ᵢ)ᵢ∈I genau dann unabhängig, wenn die von ihnen erzeugten σ-Algebren (σ(𝓔ᵢ))ᵢ∈I unabhängig sind.
Verwendung für Zufallsvariablen
Unabhängige Mengensysteme übertragen den Unabhängigkeitsbegriff auf Zufallsvariablen. Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝒜, P), zwei Messräume (Ω₁, 𝒜₁) und (Ω₂, 𝒜₂) sowie Zufallsvariablen X₁: Ω → Ω₁ und X₂: Ω → Ω₂.
Zu jeder Zufallsvariablen gehört eine von ihr erzeugte Initial-σ-Algebra. Wenn die von X₁ und X₂ erzeugten Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind, heißen X₁ und X₂ unabhängig. Die Definition lässt sich auch auf Familien von Zufallsvariablen erweitern. Damit wird die Unabhängigkeit von Ereignissen beziehungsweise Mengensystemen zu einem allgemeinen Werkzeug für die Stochastik.
Zufallsvariable und Mengensystem
Im Zusammenhang mit dem bedingten Erwartungswert wird auch die Unabhängigkeit einer Zufallsvariablen X von einem Mengensystem 𝓔 betrachtet. X und 𝓔 heißen unabhängig, wenn 𝓔 und die von X erzeugte Initial-σ-Algebra σ(X) im oben definierten Sinn unabhängige Mengensysteme sind.
Bedingte Unabhängigkeit
Die Unabhängigkeit von σ-Algebren kann mithilfe des bedingten Erwartungswertes zur bedingten Unabhängigkeit verallgemeinert werden. Eine entsprechende Erweiterung gibt es auch für Zufallsvariablen.
