Bedingte Unabhängigkeit

Grundidee

Bedingte Unabhängigkeit ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie verallgemeinert die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen, Mengensystemen und Zufallsvariablen: Ob Dinge unabhängig sind, wird dabei unter einer gegebenen Bedingung beurteilt. Dazu verwendet man bedingte Wahrscheinlichkeiten und bedingte Erwartungswerte. Sie findet insbesondere bei Aussagen über austauschbare Familien von Zufallsvariablen Anwendung.

Definition für σ-Algebren und Zufallsvariablen

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\Sigma,P), eine Unter-σ-Algebra \mathcal A von \Sigma und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(\cdot\mid\mathcal A).

Eine Familie von Teil-σ-Algebren (\mathcal A_i)_{i\in I} heißt bedingt unabhängig gegeben \mathcal A, wenn für jede endliche Teilmenge J von I und jede Wahl von Ereignissen A_j\in\mathcal A_j gilt:

$P\left(\bigcap_{j\in J}A_j\mid\mathcal A\right)=\prod_{j\in J}P(A_j\mid\mathcal A).$

Die Gleichung gilt P-fast sicher, also mit Wahrscheinlichkeit 1.

Eine Familie von Zufallsvariablen (X_i)_{i\in I} heißt bedingt unabhängig gegeben \mathcal A, wenn die von den einzelnen Zufallsvariablen erzeugten σ-Algebren (\sigma(X_i))_{i\in I} bedingt unabhängig gegeben \mathcal A sind.

Unabhängig identisch verteilt unter einer Bedingung

Eine Familie von Zufallsvariablen heißt unabhängig identisch verteilt gegeben \mathcal A, wenn sie erstens unabhängig gegeben \mathcal A ist und zweitens alle bedingten Verteilungen P(\{X_i\in\cdot\}\mid\mathcal A) gleich sind.

Jede Familie von Teil-σ-Algebren von \mathcal A ist unabhängig gegeben \mathcal A. Außerdem ist jede im üblichen Sinn unabhängige Familie von σ-Algebren unabhängig gegeben die triviale σ-Algebra \{\emptyset,\Omega\}.