Trigonometrische Gleichung

Definition und Bedeutung

Eine trigonometrische oder goniometrische Gleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable im Argument einer trigonometrischen Funktion, also einer Winkelfunktion, vorkommt. Beim Lösen helfen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen, besonders die Additionstheoreme.

Lösungsanzahl und Periodizität

Trigonometrische Funktionen sind periodisch: Ihre Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen. Deshalb besitzen trigonometrische Gleichungen im Allgemeinen unendlich viele Lösungen.

Die Lösungsmenge kann auf zwei Arten dargestellt werden:

• Man beschränkt die Grundmenge auf ein Basisintervall, zum Beispiel [0, 2·π] oder [0, π]. Dann gibt es nur endlich viele Lösungen.
• Man beschreibt alle Lösungen mithilfe eines Periodizitätssummanden, beispielsweise k·2·π oder k·π.

Beispiel und Lösungsprüfung

Gegeben ist die Gleichung sin x = cos x. Mit der Beziehung cos x = √(1 − sin² x) wird sie zu sin x = √(1 − sin² x).

Durch Quadrieren folgt:

sin² x = 1 − sin² x,

2·sin² x = 1

und damit

sin x = ±√(1/2).

Daraus ergeben sich zunächst x = 45° ± k·90° für k = 0, 1, 2, ... beziehungsweise im Bogenmaß x = π/4 ± k·π/2 für k = 0, 1, 2, ...

Das Quadrieren ist jedoch keine Äquivalenzumformung: Dabei können zusätzliche Lösungen entstehen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Deshalb müssen alle Ergebnisse durch Einsetzen in sin x = cos x überprüft werden. Gültig sind schließlich

x = π/4 ± 2k·π/2 für k = 0, 1, 2, ...