Tangente (Winkelhalbierende)

Grundidee der Konstruktion

Die Tangente als Winkelhalbierende ist ein geometrisches Verfahren für Kegelschnitte. Eine Tangente ist eine Gerade, die den Kegelschnitt in einem Berührungspunkt berührt. Sie wird hier als Winkelhalbierende konstruiert, also als Gerade, die einen bestimmten Winkel in zwei gleich große Winkel teilt. Der Ausgangspunkt P kann auf dem Kegelschnitt oder außerhalb von ihm liegen.

Die Konstruktionen verwenden Kreise, Kreisbögen, Halbgeraden und gleiche Strecken. Liegt P auf dem Kegelschnitt, erhält man die Tangente gewöhnlich direkt in P. Liegt P außerhalb, erzeugt die Winkelhalbierende zusätzlich den Berührungspunkt A. Gepunktete Linien in den Abbildungen dienen nur der Verdeutlichung und gehören nicht zur eigentlichen Konstruktion.

Kreis

Liegt P auf dem Kreis, zeichnet man zunächst den Kreis um den Mittelpunkt M und wählt P als Berührungspunkt. Um P entsteht ein weiterer Kreis mit demselben Radius; sein Durchmesser ist |MB|. Danach werden Kreisbögen mit dem Radius |MB| um M und B gezeichnet. Ihr Schnittpunkt ist A. Die Gerade durch A und P ist die Winkelhalbierende w des Winkels (M,A,B).

Der Nachweis benutzt die grundlegende Tangenteneigenschaft des Kreises: Eine Gerade ist in P genau dann Tangente, wenn sie senkrecht auf dem Radius MP steht. Die konstruierte Winkelhalbierende erfüllt diese Bedingung und ist daher die Kreistangente in P.

Liegt P außerhalb des Kreises, wählt man zunächst einen beliebigen Punkt B auf dem Kreis und zeichnet durch ihn eine Halbgerade. Ein Halbkreis um B mit Radius |BM| schneidet sie in C. Anschließend zeichnet man um P einen Kreisbogen mit Radius |PM| sowie zwei Kreisbögen mit Radius |MC|, einen um M und einen um den dadurch erzeugten Punkt D. Diese schneiden sich in E. Die Gerade durch P und E ist die Winkelhalbierende w; ihr Schnitt mit dem Kreis erzeugt den Berührungspunkt A.

Für den Nachweis gilt |MB| = |BC| = |MA| = |AD|. Dadurch ist A ein Scheitel des rechten Winkels (D,P,M). Die Winkelhalbierende steht senkrecht zum Radius MA und ist deshalb die Kreistangente im Punkt A.

Ellipse

Eine Ellipse besitzt zwei Brennpunkte F₁ und F₂. Liegt P auf der Ellipse, wird P beliebig, beispielsweise nahe F₁, gewählt. Man zeichnet eine Halbgerade von F₂ durch P und verbindet P mit F₁. Ein Kreis k₁ um P mit Radius |PF₁| schneidet die Halbgerade in F′. Danach zeichnet man mit demselben Radius die Kreise k₂ um F′ und k₃ um F₁. Ihr Schnittpunkt ist A. Die Gerade durch A und P halbiert den Winkel (F₁,P,F′) und ist die Tangente in P. Die beiden Kreise k₂ und k₃ sichern durch ihre gleichen Radien, dass diese Gerade tatsächlich eine Winkelhalbierende ist.

Liegt P außerhalb der Ellipse, zeichnet man um F₂ einen Kreisbogen kb₁ mit Radius |S₂S₁| = 2a. Dabei bezeichnet a die große Halbachse. Um P folgt ein Kreisbogen kb₂ mit Radius |PF₁|. Zwei weitere kurze Kreisbögen mit einem frei geeigneten gleichen Radius, zum Beispiel |F′M|, werden um F′ und F₁ gezeichnet; ihr Schnittpunkt ist B. Die Gerade durch B und P halbiert den Winkel (F′,P,F₁) und erzeugt den Berührungspunkt A.

Der Nachweis stützt sich auf |PF′| = |PF₁| und auf die Winkelhalbierung. Damit ist die rote Gerade die Winkelhalbierende w und zugleich die Tangente im Punkt A.

Parabel

Für die Parabel y = ¼x² müssen zunächst der Brennpunkt F und die Leitlinie l bestimmt werden. Die Leitlinie ist eine Gerade, von der jeder Parabelpunkt denselben Abstand wie vom Brennpunkt besitzt. Mit dem Koeffizienten a = ¼ von x² ergibt sich F = (0, 1/(4a)) und |FS| = (1·4)/(4·1) = 1. Ein Kreis um den Scheitel S mit Radius |FS| liefert den Punkt B. Durch B wird die Leitlinie l senkrecht zur Symmetrieachse gezeichnet.

Liegt P auf der Parabel, fällt man von P das Lot auf l; sein Fußpunkt ist C. Danach zeichnet man um F einen kurzen Kreisbogen mit Radius |PF|, dessen Schnittpunkt A ist. Die Winkelhalbierende w wird durch P und B gezogen. Entscheidend ist die Parabeldefinition: P liegt genau dann auf der Parabel, wenn der Abstand |PC| zur Leitlinie gleich dem Abstand |PF| zum Brennpunkt ist. Wegen |AF| = |AC| = |PC| ist diese Bedingung erfüllt; w ist die Tangente in P.

Liegt P außerhalb der Parabel, zeichnet man um P einen Kreisbogen durch F, bis er die Leitlinie in C schneidet. Gleich große kurze Kreisbögen, beispielsweise mit Radius |PF|, um F und C schneiden sich in D. Die Gerade durch P und D ist die Winkelhalbierende und erzeugt den Berührungspunkt A auf der Parabel. Aus |PF| = |PC| = |FD| = |CD| folgt |AF| = |AC|. A erfüllt damit die Parabeldefinition, und die Winkelhalbierende ist die Tangente in A.

Hyperbel

Eine Hyperbel besitzt zwei Brennpunkte F₁ und F₂. Liegt P auf der Hyperbel, verbindet man P mit F₂. Ein Kreisbogen um P mit Radius |PF₁| schneidet die Strecke PF₂ in B. Danach zeichnet man um B und F₁ zwei kurze Kreisbögen mit demselben Radius, zum Beispiel |BF₂|; ihr Schnittpunkt ist A. Die Gerade durch P und A halbiert den Winkel (F₂,P,F₁) und ist die Tangente in P. Der Nachweis verwendet |PB| = |PF₁| und die durch die gleich großen Kreisbögen gesicherte Winkelhalbierung.

Liegt P außerhalb der Hyperbel, zeichnet man den Leitkreis lₖ um F₂ mit Radius |2a|. Außerdem wird um P ein Kreisbogen mit Radius |PF₁| gezeichnet, der beim Punkt F₁ beginnt und den Leitkreis in C schneidet. Zur Halbierung des Winkels (F₁,P,C) zeichnet man zwei Kreisbögen mit Radius |CF₁|, einen um C und einen um F₁. Ihr Schnittpunkt ist D. Die Gerade durch P und D ist die Winkelhalbierende w und erzeugt auf der Hyperbel den Berührungspunkt A.

Da |PF₁| = |PC| und |F₁D| = |CD| gelten, halbiert die Gerade den Winkel (F₁,P,C). Daher ist sie zugleich die gesuchte Tangente im Punkt A.