Streutheorie

Grundidee und quantenmechanisches Modell

Die Streutheorie beschreibt in der Physik theoretisch, wie Teilchen, Strahlen oder Felder durch Wechselwirkungen abgelenkt oder verändert werden. In der Quantenmechanik betrachtet man dabei häufig die Streuung eines Projektils an einem Target. Das Ziel besteht darin, aus der beobachteten Streuung auf die zugrunde liegende Wechselwirkung zu schließen.

Ein quantenmechanisches Objekt wird durch einen Gesamtzustand beschrieben, der sich aus Ortszustand, Spinzustand und weiteren physikalischen Größen wie dem Isospin zusammensetzen kann:

|Gesamtzustand⟩ = |Ort⟩ ⊗ |Spin⟩ …

In der elementaren Behandlung wird nur der Ortszustand betrachtet. Seine Darstellung in der Ortsbasis |x⟩ ist die Wellenfunktion ψ(x) = ⟨x|Ort⟩. Diese Vereinfachung setzt voraus, dass es keine internen Freiheitsgrade wie Spin oder angeregte Zustände gibt, dass die Teilchen unterscheidbar sind und dass keine Mehrfachstreuung auftritt. Die für ununterscheidbare Bosonen oder Fermionen erforderliche Symmetrie der Wellenfunktion bleibt dabei unberücksichtigt.

Wie in der klassischen Mechanik lässt sich das Zweiteilchenproblem auf ein Einteilchenproblem zurückführen: Ein einzelnes Quantenobjekt bewegt sich auf ein im Ursprung ruhendes Kraftzentrum zu. Für zwei Teilchen mit den Massen m₁ und m₂ verwendet man dabei ein fiktives Teilchen mit der reduzierten Masse

μ = m₁m₂/(m₁ + m₂).

Es bewegt sich im Potential V(r⃗). Der Hamiltonoperator, der die Gesamtenergie beschreibt, lautet

H = p²/(2m) + V(x⃗).

Wellenfunktion, Streuzustände und Randbedingung

Zu Beginn des Streuprozesses bei t = t₀ wird das einlaufende Teilchen durch ein Wellenpaket beschrieben:

ψ₀(x⃗,t₀) = ∫ℝ³ [d³k⃗/(2π)³] aₖ⃗ e^(ik⃗·x⃗).

Diese Fourierdarstellung setzt das Wellenpaket aus ebenen Wellen zusammen. Alternativ kann man die stationären Zustände, also die Eigenzustände des Hamiltonoperators, verwenden:

Hψₖ⃗ = Eₖψₖ⃗,

Eₖ = ℏ²k²/(2m) ≥ 0.

Zustände mit positiver Energie heißen Streuzustände. Sie sind ungebunden und besitzen auch außerhalb der Reichweite des Potentials eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Ein einzelner stationärer Streuzustand entspricht einer stehenden Welle. Seine Wahrscheinlichkeitsstromdichte

j⃗ = ℏ/(2mi) · (ψ*∇⃗ψ − ψ∇⃗ψ*)

verschwindet, weil gleich viel Wahrscheinlichkeitsstrom zum Streuzentrum hin- wie von ihm wegfließt. Erst die Überlagerung mehrerer stationärer Zustände ergibt ein anschauliches Wellenpaket, das zunächst einläuft und anschließend gestreut wird.

In großer Entfernung r vom Streuzentrum besitzt die Wellenfunktion die asymptotische Form

lim(r→∞) ψₖ⃗(x⃗) = e^(ik⃗·x⃗) + fₖ⃗(θ,φ)e^(ikr)/r.

Sie setzt sich damit aus einer ungestört durchlaufenden ebenen Welle und einer auslaufenden Kugelwelle zusammen. Dieses Verhalten heißt Sommerfeldsche Randbedingung. Die Streuamplitude fₖ⃗(θ,φ) enthält die physikalische Information über das Streupotential.

Wirkungsquerschnitt und Berechnungsmethoden

Experimentell zugänglich ist vor allem der differentielle Wirkungsquerschnitt:

dσ/dΩ = |fₖ⃗(θ,φ)|².

Er gibt das Verhältnis zwischen der Zahl der pro Zeit in einen bestimmten Raumwinkel gestreuten auslaufenden Teilchen und der Stromdichte der einlaufenden Teilchen an. Aus ihm kann der volle Wirkungsquerschnitt bestimmt werden.

Bei einem Zentralpotential hängt das Potential nur vom Abstand zum Zentrum ab. Dann ist der Drehimpuls erhalten. Die Wellenfunktion wird nach gemeinsamen Eigenzuständen von H, L² und L_z entwickelt. Die dabei entstehenden Streuzustände heißen Partialwellen. Auch die Streuamplitude, die in diesem Fall nur noch vom Winkel θ abhängt, sowie der Streuquerschnitt lassen sich nach Legendre-Polynomen entwickeln. Dieses Verfahren heißt Partialwellenentwicklung. Eine weitere Methode zur näherungsweisen Berechnung der Streuamplitude ist die Bornsche Näherung.

Elastische und unelastische Streuung

Bei der elastischen Streuung ändern sich die intrinsischen Quantenzahlen von Projektil und Target nicht. Anfangs- und Endzustand gehören somit zum gleichen Streukanal.

Bei der unelastischen Streuung können der intrinsische Drehimpuls der Teilchen und der Bahndrehimpuls ihrer Relativbewegung miteinander wechselwirken. Dadurch können innere Zustände angeregt werden: Projektil, Target oder beide können beispielsweise in Rotation versetzt werden oder Vibrationsschwingungen ausführen. Auch ein Teilchenaustausch zwischen Projektil und Target ist möglich; dieser Vorgang heißt Transferreaktion.

Jede einzelne Reaktion verläuft über einen Streukanal. Ein Kanal ist durch alle relevanten Quantenzahlen festgelegt, darunter Ladungs- und Massenzahlen der Teilchen, ihre Drehimpulse und deren Kopplung, die Wellenzahl sowie die Energie der Relativbewegung. Der Eingangskanal beschreibt den Zustand zu Beginn, der Ausgangskanal den Zustand nach der Streuung. Bei elastischer Streuung sind Eingangs- und Ausgangskanal identisch.

Ein Kanal heißt offen, wenn die kinetische Energie der Relativbewegung größer als seine Anregungsenergie ist und außerdem Drehimpuls- und Impulserhaltung erfüllt sind. Seine Wellenzahl ist dann reell. Ist die Anregungsenergie größer als die kinetische Energie, ist die Kanalenergie negativ und die Kanalwellenzahl rein imaginär. Ein solcher Kanal heißt geschlossen; allgemein gelten alle nicht offenen Kanäle als geschlossen. Nur ein offener Kanal ist bei der Streuung energetisch zugänglich.

Direktes und inverses Streuproblem

Das quantenmechanische Streuproblem besteht darin, ein Potential V(r⃗) zu finden, das den experimentell gemessenen differentiellen Wirkungsquerschnitt erklärt und möglichst auch Ergebnisse anderer Experimente vorhersagt. Dafür gibt es zwei grundsätzlich unterschiedliche Vorgehensweisen.

Beim direkten Streuproblem wird zunächst ein Potential angenommen, beispielsweise ein Woods-Saxon-Potential. Daraus berechnet man die S-Matrix, welche die Übergänge zwischen den Streukanälen beschreibt, und anschließend den theoretischen Wirkungsquerschnitt. Die Parameter des Potentials werden so an den experimentellen Wirkungsquerschnitt angepasst, dass Theorie und Messung möglichst gut übereinstimmen. Dies ist die typische Anwendung bei Streuexperimenten.

Beim inversen Streuproblem geht man in umgekehrter Richtung vor: Aus dem experimentellen Wirkungsquerschnitt wird zunächst die S-Matrix und aus dieser anschließend das Potential berechnet.