Stirlingformel

Bedeutung und Grundformel

Die Stirling-Formel liefert Näherungswerte für große Fakultäten. Eine Fakultät ist das Produkt der natürlichen Zahlen bis n; die Formel ist nützlich, weil n! sehr schnell wächst und exakte Berechnungen dann aufwendig werden.

In der einfachsten asymptotischen Form gilt

n! \sim \sqrt{2\pi n},\left(\frac{n}{\mathcal e}\right)^n \quad für \quad n\to\infty.

Das Zeichen \sim bedeutet hier: Der Quotient von n! und dem rechten Ausdruck strebt für wachsende n gegen 1. Genauer gilt für n>0:

1<\mathcal e^{\frac{1}{12n+1}}<\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\cdot (\frac{n}{\mathcal e})^n}<\mathcal e^{\frac{1}{12n}}<1+\frac{1}{11n}.

Damit ist die einfache Formel stets etwas zu klein; ihre relative Abweichung nimmt mit n ab.

Stirling-Reihe und Genauigkeit

Für den Logarithmus der Fakultät lautet die Stirling-Reihe:

\ln n!\simeq n\ln n-n+\tfrac12\ln(2\pi n)+\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\cdots+\frac{B_{2k}}{(2k-1)2k}\cdot\frac{1}{n^{2k-1}}+\cdots.

Dabei sind B_k die Bernoulli-Zahlen. Die Reihe wird als asymptotische Reihe verwendet: Man nimmt nur endlich viele Glieder. Für festes n konvergiert sie nicht; der Fehler hat ungefähr die Größenordnung des ersten weggelassenen Glieds. Beim Abbruch nach dem dritten Glied ist der absolute Fehler kleiner als \tfrac{1}{12n}.

Für n\gtrsim 7{,}31\cdot10^{43} genügt \ln n!\approx n\ln n für einen relativen Fehler unter 1 %. Für n>751 genügt \ln n!\approx n\ln n-n für einen relativen Fehler unter 0,1 %.

Eine auch für kleine n verbesserte Näherung ist

n!\approx\sqrt{\frac{\pi}{3}(6n+1)}\left(\frac{n}{\mathcal e}\right)^n.

Ihr Fehler beträgt etwa 2,3 % bei n=0, etwa 0,4 % bei n=1 und weniger als 0,1 % ab n=3. Durch Exponentieren der Logarithmusreihe erhält man weitere asymptotische Entwicklungen für n!; die dabei auftretenden Koeffizienten C_k folgen keinem einfachen Bildungsgesetz.

Herleitung für große Teilchenzahlen

In der statistischen Physik betrachtet man thermodynamische Systeme mit Teilchenzahlen der Größenordnung 10^{23}. Dafür reichen meist die ersten beiden Glieder:

\ln N!\approx N\ln N-N.

Sie folgen aus dem ersten Term der Euler-MacLaurin-Formel, indem die Summe durch ein Integral ersetzt wird:

\ln N!=\sum_{n=1}^{N}\ln n\approx\int_1^N\ln x,\mathrm dx=[x\ln x-x]_1^N=N\ln N-N+1\approx N\ln N-N.

Nach dem Exponentieren ergibt sich die entsprechende einfache Fakultätsnäherung:

N!\approx\left(\frac{N}{\mathcal e}\right)^N.

Verallgemeinerung mit der Gammafunktion

Die Formel lässt sich auf die Gammafunktion erweitern. Für jedes x>0 gilt

\Gamma(x)=\sqrt{\frac{2\pi}{x}}\left(\frac{x}{\mathcal e}\right)^x\mathcal e^{\mu(x)},

wobei 0<\mu(x)<\tfrac{1}{12x} gilt. Setzt man \mu=0, ist die erhaltene Näherung für \Gamma(x) immer etwas zu klein. Ihr relativer Fehler ist für x\geq9 kleiner als 1 % und für x\geq84 kleiner als 0,1 %.

Für natürliche n besteht der Zusammenhang n!=n,\Gamma(n). Daraus folgt

n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\mathcal e}\right)^n\mathcal e^{\mu(n)},

also die Stirling-Näherung für Fakultäten als Spezialfall.

Entropie und Informationsgehalt

Die Stirling-Formel vereinfacht Rechnungen, wenn exakte Fakultätswerte unwichtig sind, besonders bei Nachrichteninformation und bei der Entropie statistischer Ensembles.

Ein System habe N Subsysteme und m mögliche Zustände. Zustand i trete mit Wahrscheinlichkeit \omega_i auf; dann befinden sich N_i Subsysteme darin und N_i/N=\omega_i. Die Anzahl möglicher Verteilungen ist

\frac{N!}{N_1!,N_2!\cdots N_m!}.

Für die Entropie gilt zunächst

\sigma=\ln(N!)-\ln(N_1!)-\ldots-\ln(N_m!).

Mit der Stirling-Formel wird dies bis auf Fehler der Ordnung O(\ln(N)) zu

\sigma=-N\sum_{i=1}^{m}(\omega_i\ln\omega_i).

Für die Entropie jedes Subsystems ergibt sich im Artikel die Formel

\sigma=-\sum_{i=1}^{m}\omega_i\ln(\omega_i).

Analog lautet der Informationsgehalt, bis auf einen konstanten Vorfaktor,

I=-\sum_{i=1}^{m}\omega_i\log_2(\omega_i).