Sattelpunktsnäherung

Grundidee und Voraussetzungen

Die Sattelpunktsnäherung ist ein Verfahren der asymptotischen Analysis: Sie dient dazu, Integrale für einen großen Parameter N näherungsweise auszuwerten. Betrachtet wird insbesondere

I=\lim_{N\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-Nf(x)},\mathrm{d}x.

Ist f(x) analytisch und besitzt bei x₀ ein globales Minimum, dann stammt für großes N der wesentliche Beitrag zum Integral aus der Umgebung dieses Minimums. Asymptotisch gilt

I=\lim_{N\to\infty}e^{-Nf(x_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{Nf''(x_0)}}.

Dabei muss f''(x₀)>0 gelten. Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung von f am Minimum; ihre Positivität ist ein Kennzeichen eines Minimums. Die Aussage ist asymptotisch, sie beschreibt also das Verhalten für N gegen Unendlich. Auch endliche Integrationsgrenzen (a,b) sind möglich.

Die Methode geht auf Pierre Simon de Laplace (1774) zurück und wird daher manchmal Laplace-Methode genannt. Ihre Verallgemeinerung auf die komplexe Zahlenebene heißt auch Sattelpunktmethode; dort erklärt ein tatsächlicher Sattelpunkt die Bezeichnung.

Form mit Maximum

Steht im Exponenten das entgegengesetzte Vorzeichen,

I=\lim_{N\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{Nf(x)},\mathrm{d}x,

so wird statt eines Minimums ein globales Maximum von f bei x₀ betrachtet. Dann lautet die asymptotische Näherung

I=\lim_{N\to\infty}e^{Nf(x_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}.

Hier gilt f''(x₀)<0, weil die zweite Ableitung an einem Maximum negativ ist. Der Betrag |f''(x₀)| sorgt dafür, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist.

Herleitung durch eine quadratische Näherung

Für den Fall eines globalen Minimums bei x₀ wird e^{-Nf(x)} außerhalb einer Umgebung von x₀ bei großem N beliebig klein. Deshalb ersetzt man f(x) in der Nähe von x₀ durch ihre Taylorentwicklung bis zum quadratischen Term:

f(x)\approx f(x_0)+\frac12 f''(x_0)(x-x_0)^2.

Der lineare Term fehlt, denn am Minimum gilt f'(x₀)=0. Nach dem Einsetzen zerfällt das Integral näherungsweise in den Faktor e^{-Nf(x₀)} und ein Gaußintegral:

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac N2f''(x_0)(x-x_0)^2},\mathrm{d}x.

Für alle a mit Re(a)>0 gilt

\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2},\mathrm{d}x=\sqrt{\frac\pi a}.

Eine Verschiebung der Variablen verändert den Wert dieses Integrals nicht. Mit a=\tfrac N2f''(x₀)>0 folgt daher

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac N2f''(x_0)(x-x_0)^2},\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{2\pi}{Nf''(x_0)}}.

Multiplikation mit e^{-Nf(x₀)} liefert die Sattelpunktsnäherung. Das dabei verwendete Gaußintegral ist eng mit dem gaußschen Fehlerintegral Φ(z) und der Gauß-Verteilung verbunden.

Anwendung und komplexe Verallgemeinerung

Eine wichtige Anwendung ist die Stirlingformel für große N:

N!\approx\sqrt{2\pi N},N^Ne^{-N}.

Aus N!=Γ(N+1)=\int_0^\infty e^{-x}x^N,\mathrm{d}x und der Variablentransformation x=Nz folgt

N!=N^{N+1}\int_0^\infty e^{N(\ln z-z)},\mathrm{d}z.

Hier verwendet man die Maximumsform der Näherung mit f(z)=\ln z-z. Es gilt f'(z)=\frac1z-1 und f''(z)=-\frac1{z^2}. Das Maximum liegt bei z₀=1; dort ist f''(1)=-1. Damit erhält man

N!\approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}}e^{-N}=\sqrt{2\pi N},N^Ne^{-N}.

Sattelpunktmethoden werden unter anderem in der statistischen Physik für große Systeme, in der Quantenfeldtheorie bei Pfadintegralen und in der Optik eingesetzt.

In der komplexen Zahlenebene werden geschlossene Wegintegrale der Form \int_C f(z)e^{\lambda g(z)},\mathrm{d}z für große reelle λ untersucht. Man deformiert den Integrationsweg mithilfe des Cauchyschen Integralsatzes so, dass ein stationärer Punkt z₀ mit g'(z₀)=0 auf ihm liegt. Bei der Methode des steilsten Abstiegs wird der Weg so gewählt, dass der Realteil u von g bei z₀ ein Maximum besitzt. Weil u harmonisch ist, können \frac{\partial^2u}{\partial x^2} und \frac{\partial^2u}{\partial y^2} nicht dasselbe Vorzeichen haben: z₀ ist ein Sattelpunkt, und der Weg folgt dem steilsten Abstieg.

Die Methode der stationären Phase behandelt speziell Integrale \int_C f(z)e^{i\lambda u(z)},\mathrm{d}z mit reeller Funktion u. Peter Debye veröffentlichte sie 1909 zur Abschätzung von Besselfunktionen; sie wurde auch schon von Bernhard Riemann benutzt.