Spezifischer Widerstand

Definition und Bedeutung

Der spezifische elektrische Widerstand, kurz spezifischer Widerstand oder Resistivität, ist eine temperaturabhängige Materialkonstante. Sein Formelzeichen ist ρ (Rho). Er beschreibt, wie stark ein Material den elektrischen Stromfluss behindert, und wird vor allem zur Berechnung des elektrischen Widerstands homogener Leitungen und anderer Widerstandsgeometrien verwendet.

Die kohärente SI-Einheit ist das Ohmmeter (Ω·m). Bei Leitern und Drähten wird häufig die anschaulichere Einheit Ω·mm²/m verwendet. Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die elektrische Leitfähigkeit.

Widerstand, Abmessungen und Messung

Für einen Leiter mit über seine Länge konstanter Querschnittsfläche gilt:

R = ρ·l/A

Dabei ist R der elektrische Widerstand, ρ der spezifische Widerstand, l die Leiterlänge und A die Querschnittsfläche. Ein längerer Leiter besitzt bei gleichem Material und Querschnitt einen größeren Widerstand; eine größere Querschnittsfläche verringert den Widerstand.

Aus dem gemessenen Widerstand eines Leiterstücks mit bekannter Geometrie lässt sich der spezifische Widerstand bestimmen:

ρ = R·A/l

Für einen runden Leiter mit dem Durchmesser d gilt:

A = π·d²/4

Diese Beziehungen setzen eine konstante Stromdichteverteilung über den Leiterquerschnitt voraus: Die Stromdichte J muss an jedem Punkt des Querschnitts gleich groß sein. Näherungsweise trifft das zu, wenn die Leiterlänge groß gegenüber den Abmessungen des Querschnitts ist und Gleichstrom oder niederfrequenter Strom fließt. Bei hohen Frequenzen erzeugen der Skin-Effekt sowie bei inhomogenen hochfrequenten Magnetfeldern und bestimmten Geometrien der Proximity-Effekt eine ungleichmäßige Stromdichteverteilung.

Aus ρ können außerdem der Flächenwiderstand R□ einer Widerstandsschicht mit der Einheit Ω sowie der Widerstand pro Länge R/l eines Drahtes oder Kabels mit der Einheit Ω/m abgeleitet werden.

Ursachen und Temperatureinfluss

In reinen Metallen setzt sich der spezifische Widerstand gemäß der Matthiessenschen Regel aus zwei überlagerten Anteilen zusammen:

• Stöße der Ladungsträger, hier der Elektronen, mit Gitterschwingungen beziehungsweise Phononen. Dieser Anteil ist temperaturabhängig.

• Stöße der Elektronen mit Verunreinigungen, Fehlstellen und Gitterbaufehlern. Dieser Anteil hängt von der Konzentration der Gitterfehler ab, nicht von der Temperatur.

Innerhalb eines begrenzten Temperaturbereichs kann die Abhängigkeit näherungsweise linear beschrieben werden:

ρ(T) = ρ(T₀)·(1 + α·(T − T₀))

α ist der Temperaturkoeffizient, T die aktuelle Temperatur und T₀ eine Bezugstemperatur, bei der ρ(T₀) bekannt ist. Als Bezug wird beispielsweise T₀ = 293,15 K = 20 °C verwendet. Je nach Vorzeichen von α unterscheidet man Kaltleiter mit positivem Temperaturkoeffizienten (PTC) und Heißleiter mit negativem Temperaturkoeffizienten (NTC).

Die lineare Näherung gilt nur in einem begrenzten Temperaturintervall, das bei reinen Metallen vergleichsweise groß sein kann. Außerhalb dieses Bereichs sind Korrekturen erforderlich. Reine Metalle haben positive Temperaturkoeffizienten von etwa 0,36 %/K bis über 0,6 %/K. Bei Platin wird der Wert von 0,385 %/K für Platin-Widerstandsthermometer genutzt.

Bei Legierungen beeinflusst die Temperatur den spezifischen Widerstand meist nur wenig, weil der Anteil der Störstellen überwiegt. Konstantan und Manganin werden deshalb eingesetzt, wenn ein geringer Temperaturbeiwert beziehungsweise ein temperaturstabiler Widerstand benötigt wird.

Materialklassen, Einheiten und Richtungsabhängigkeit

Zwischen den gebräuchlichen Einheiten gelten die Umrechnungen:

1 Ω·mm²/m = 10⁻⁶ Ω·m

1 Ω·m = 100 Ω·cm

Anhand des spezifischen Widerstands werden Materialien näherungsweise eingeteilt:

• Leiter: ρ < 100 Ω·mm²/m

• Halbleiter: ρ = 100 bis 10¹² Ω·mm²/m

• Isolatoren oder Nichtleiter: ρ > 10¹² Ω·mm²/m

Diese Grenzen sind nur Richtwerte und können in der Literatur um bis zu zwei Größenordnungen abweichen. Eine Einteilung anhand der Lage der Fermi-Energie in der Bandstruktur sowie nach Art und Beweglichkeit der Ladungsträger ist häufig eindeutiger.

Bei den meisten Materialien ist der elektrische Widerstand isotrop, also unabhängig von der Richtung. Dann genügt für ρ eine einzelne Zahl mit Einheit. Anisotropie, also Richtungsabhängigkeit, tritt bei Einkristallen oder Vielkristallen mit Vorzugsrichtung und weniger als kubischer Symmetrie auf. Die meisten Metalle besitzen eine kubische Kristallstruktur und sind daher isotrop; häufig liegen sie zudem vielkristallin ohne ausgeprägte Vorzugsrichtung vor.

Graphit ist als Einkristall oder als Material mit Vorzugsrichtung ein Beispiel für anisotropen Widerstand. In diesem Fall ist ρ ein Tensor zweiter Stufe, also eine Größe, die verschiedene Raumrichtungen berücksichtigt. Er verknüpft die elektrische Feldstärke E mit der elektrischen Stromdichte j:

E⃗ = ρ·j⃗

Materialwerte und Rechenbeispiel

Die Werte bei 20 °C hängen erheblich vom Reinheitsgrad und von Defekten im Kristall ab. Gute metallische Leiter haben besonders niedrige Werte: Silber besitzt ρ = 0,01587 Ω·mm²/m, reines Kupfer („IACS“) 0,01721 Ω·mm²/m, Kupfer für Elektrokabel 0,0169 bis 0,0175 Ω·mm²/m, Gold 0,02214 Ω·mm²/m und Aluminium 0,0265 Ω·mm²/m. Höhere Werte besitzen beispielsweise Platin mit 0,105 Ω·mm²/m, Blei mit 0,208 Ω·mm²/m, Konstantan mit 0,5 Ω·mm²/m und NiCr8020 mit 1,32 Ω·mm²/m.

Die große Spannweite zeigt sich auch bei anderen Stoffen. Graphit hat in der Basalebene 2 bis 5 Ω·mm²/m, orthogonal dazu dagegen 3·10³ bis 10·10³ Ω·mm²/m. Kohlenstoff-Nanoröhren liegen bei 0,1 bis 1 Ω·mm²/m, während Diamant als Isolator ungefähr 10¹⁸ Ω·mm²/m erreicht. Glas liegt bei 10¹⁶ bis 10²¹ Ω·mm²/m, trockenes Holz bei 10¹⁰ bis 10¹⁶ Ω·mm²/m und Quarzglas bei 7,5·10²³ Ω·mm²/m. Reinstwasser im Vakuum hat ungefähr 10¹² Ω·mm²/m, typisches Leitungswasser ungefähr 10⁷ Ω·mm²/m und typisches Meerwasser ungefähr 500000 Ω·mm²/m.

Ein Rechenbeispiel zeigt die Bestimmung des Materials: Ein unbekannter Metalldraht hat die Länge l = 2 m und den Querschnitt A = 0,01 mm². Bei der Testspannung U = 2 V wird der Strom I = 0,57 A gemessen. Mit

R = ρ·l/A = U/I

folgt

ρ = R·A/l = U·A/(I·l).

Aus den Messwerten ergibt sich zunächst ein Widerstand von rund 3,5 Ω und anschließend:

ρ = (3,5 Ω·0,01 mm²)/(2 m) = 0,0175 Ω·mm²/m.

Dieser Wert deutet darauf hin, dass der Draht aus Kupfer bestehen könnte.