Duplation

Grundidee der Duplation

Die Duplation ist eine Multiplikationsmethode. Ein Faktor wird wiederholt verdoppelt, während daneben die passenden Vielfachheiten 1, 2, 4, 8, 16 usw. stehen. Der andere Faktor wird als Summe dieser Vielfachheiten dargestellt. Addiert man die zugehörigen Werte der ersten Spalte, erhält man das Produkt.

Damit wird eine Multiplikation auf Verdoppeln und Addieren zurückgeführt. Die Zerlegung des Faktors entspricht seiner eindeutigen Binärdarstellung. Bei großen Zahlen ist das Verfahren jedoch zeit- und arbeitsaufwändig; heute wird es nicht mehr gelehrt oder angewendet.

Vorgehensweise

Man erstellt eine Tabelle mit zwei Spalten. In die linke Spalte kommt einer der Faktoren, in die rechte Spalte die Zahl 1. Danach werden beide Einträge jeder Zeile jeweils verdoppelt oder mit sich selbst addiert.

So entstehen rechts die Zahlenfolge „1, 2, 4, 8, 16, 32, …“ und links die entsprechenden Vielfachen des eingetragenen Faktors. Man setzt dies fort, bis sich der andere Faktor durch Addition von Zahlen aus der rechten Spalte bilden lässt. Anschließend addiert man die Zahlen der linken Spalte aus genau diesen Zeilen. Diese Summe ist das Ergebnis der ursprünglichen Multiplikation.

Beispiel: 14 · 21

Bei Variante 1 steht 14 links. Die Tabelle enthält 14 zu 1, 28 zu 2, 56 zu 4, 112 zu 8 und 224 zu 16. Da 1 + 4 + 16 = 21, werden die zugehörigen Werte links addiert: 14 + 56 + 224 = 294. Also gilt 14 · 21 = 294.

Bei Variante 2 steht 21 links: 21 zu 1, 42 zu 2, 84 zu 4 und 168 zu 8. Weil 2 + 4 + 8 = 14, ergibt 42 + 84 + 168 = 294.

Variante 3 verkürzt bei mehrstelligen Aufgaben mögliche Zwischenschritte durch Multiplikation mit 10. Für 14 · 21 stehen etwa 21 zu 1, 210 zu 10, 42 zu 2 und 84 zu 4. Aus 10 + 4 = 14 folgt 210 + 84 = 294.

Historische Einordnung

Die Duplation wurde bereits im antiken Ägypten verwendet. Das ägyptische Zahlensystem kannte kein Zeichen für die 0; deshalb konnten heutige Multiplikationsmethoden nicht angewendet werden. Beispiele sind auf dem etwa um 1700 v. Chr. entstandenen Papyrus Rhind erhalten, der nach Alexander Henry Rhind benannt ist. Daneben wird dort auch ein Verfahren genannt, das später Russische Bauernmultiplikation hieß.

Auch das römische Zahlensystem hatte ähnliche Schwierigkeiten. Deshalb blieb die Duplation lange in Gebrauch und wurde noch im Mittelalter standardmäßig gelehrt. Nachdem sich im 13. Jahrhundert die arabischen Ziffern in Westeuropa durchsetzten, verschwand sie allmählich.