Satz von Birkhoff-Kellogg

Kernaussage

Der Satz von Birkhoff-Kellogg ist ein Lehrsatz der Nichtlinearen Funktionalanalysis. Er geht auf eine Arbeit von George David Birkhoff und Oliver Dimon Kellogg aus dem Jahr 1922 zurück. Der Satz behandelt, unter welchen Bedingungen für bestimmte Operatoren auf unendlich-dimensionalen Banachräumen ein Eigenwertproblem lösbar ist.

Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Vektorraum. Ein Operator ist hier eine Abbildung zwischen solchen Räumen; er kann linear oder nichtlinear sein. Der Satz ist ein Analogon des klassischen Satzes von Poincaré-Brouwer aus der Topologie.

Formulierung

Gegeben seien ein unendlich-dimensionaler Banachraum X und darin eine beschränkte offene Teilmenge G ⊂ X, die den Nullpunkt 0 ∈ X enthält.

Auf der abgeschlossenen Hülle Ḡ von G sei ein kompakter Operator K: Ḡ → X gegeben. „Kompakt“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Operator beschränkte Mengen in relativ kompakte Bildmengen überführt. Der Operator darf linear oder nichtlinear sein.

Zusätzlich muss K auf dem Rand ∂G von G von 0 weg beschränkt sein. Genau lautet die Bedingung:

inf_{x ∈ ∂G} ||K(x)|| > 0.

Folgerung für Eigenwerte

Unter diesen Voraussetzungen ist das Eigenwertproblem für K lösbar. Das bedeutet: Es gibt einen Randpunkt x₀ ∈ ∂G und eine reelle Zahl λ ∈ ℝ \ {0}, sodass

K(x₀) = λ x₀

gilt.

Der Punkt x₀ ist also ein Eigenvektor von K im verallgemeinerten Sinn, und λ ist ein zugehöriger nichtverschwindender reeller Eigenwert.

Beweishintergrund

Der Beweis des Satzes beruht wesentlich auf einem allgemeinen Eigenwertprinzip. Für dessen Herleitung wird der Leray-Schauder’sche Abbildungsgrad verwendet. Außerdem spielt ein Approximationssatz für kompakte Operatoren eine Rolle.

Approximationssatz

Der Approximationssatz für kompakte Operatoren lautet: Gegeben seien zwei Banachräume X und Y über einem Körper 𝕂 mit 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ}, eine beschränkte nichtleere Teilmenge M ⊂ X und ein Operator Ψ: M → Y.

Dann ist Ψ genau dann ein kompakter Operator, wenn es eine Folge von Operatoren Ψₙ: M → Y für n = 1, 2, 3, … gibt, sodass für jedes n drei Bedingungen erfüllt sind:

• Ψₙ ist kompakt.
• sup_{x ∈ M} ||Ψ(x) − Ψₙ(x)||_Y ≤ 1/n.
• Der von der Bildmenge Ψₙ(M) über 𝕂 aufgespannte lineare Unterraum span(Ψₙ(M)) hat endliche Dimension.

Der Satz beschreibt also, dass kompakte Operatoren durch kompakte Operatoren mit endlichdimensionalem Bildraum gleichmäßig bis auf den Fehler 1/n angenähert werden können.