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Gaußsche Zahl

Euklidischer Algorithmus und größter gemeinsamer Teiler (ggT). Bearbeiten. Jede gaußsche Zahl g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0} {\displaystyle g\neq 0} hat vier …

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Inhalt6 Abschnitte
  1. 1. Grundidee und Struktur
  2. 2. Primelemente und Zerlegung gewöhnlicher Primzahlen
  3. 3. Primfaktorzerlegung und größter gemeinsamer Teiler
  4. 4. Kongruenzen, Restklassen und Norm
  5. 5. Prime Restklassengruppe und Fermat-Euler-Satz
  6. 6. Offene Fragen

Grundidee und Struktur

Gaußsche Zahlen sind die Verallgemeinerung ganzer Zahlen auf komplexe Zahlen der Form g=a+b\mathrm{i}, wobei a,b ganze Zahlen sind und \mathrm{i}^2=-1 gilt. Der Ring aller gaußschen Zahlen heißt \mathbb{Z}[\mathrm{i}]. Geometrisch sind dies genau die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten in der komplexen Ebene; sie bilden ein zweidimensionales Gitter.

\mathbb{Z}[\mathrm{i}] ist der Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers \mathbb{Q}(\mathrm{i}). Er ist ein euklidischer Ring und damit ein faktorieller Ring: Division mit Rest und eine bis auf bestimmte Ausnahmen eindeutige Primfaktorzerlegung sind möglich. Wichtige Ausnahmen bei der Eindeutigkeit entstehen durch die Einheiten \pm1,\pm\mathrm{i}: Multipliziert man eine Zahl mit einer dieser Einheiten, erhält man eine assoziierte Zahl.

Primelemente und Zerlegung gewöhnlicher Primzahlen

Primelemente sind die Entsprechung der Primzahlen in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]. Bis auf Multiplikation mit den Einheiten \pm1,\pm\mathrm{i} sind die Primelemente:

  • die gewöhnlichen Primzahlen der Form 4k+3,
  • 1+\mathrm{i},
  • Zahlen a+b\mathrm{i} mit a^2+b^2=p, wobei p=4k+1 eine Primzahl ist.

Gewöhnliche Primzahlen verhalten sich dabei auf drei Arten. Erstens ist 2 verzweigt: 1+\mathrm{i} und 1-\mathrm{i} unterscheiden sich nur um eine Einheit, und 2=\mathrm{i}^3(1+\mathrm{i})^2.

Zweitens zerfallen Primzahlen p=4k+1. Sie lassen sich als p=a^2+b^2 schreiben und besitzen die Zerlegung p=(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i}). Zum Beispiel ist 5=(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i}); 5 selbst ist in \mathbb{Z}[\mathrm{i}] nicht prim, die beiden Faktoren dagegen schon.

Drittens bleiben Primzahlen p=4k+3 auch im gaußschen Zahlring prim; sie heißen träge.

Primfaktorzerlegung und größter gemeinsamer Teiler

Für eine von null verschiedene gaußsche Zahl gibt es, bis auf Reihenfolge und Einheitsfaktoren, eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Wählt man für jedes ungerade Primelement eine eindeutig festgelegte primäre Form mit p_m\equiv1\pmod{2+2\mathrm{i}}, so lässt sich schreiben: z=\mathrm{i}^k\prod_{m\in\mathbb{N}}p_m^{\nu_m},\qquad k=0,\dotsc,3,\quad \nu_m\geq0, wobei nur endlich viele Exponenten positiv sind.

Ein ggT (a,b) ist ein gemeinsamer Teiler von a und b, der von jedem weiteren gemeinsamen Teiler geteilt wird. Er ist nur bis auf Assoziiertheit eindeutig. Sind die Primfaktorzerlegungen bekannt, a=\mathrm{i}^k\prod_mp_m^{\nu_m},\qquad b=\mathrm{i}^n\prod_mp_m^{\mu_m}, dann gilt (a,b)=\prod_mp_m^{\lambda_m},\qquad \lambda_m=\min(\nu_m,\mu_m).

Ohne Faktorisierung verwendet man den euklidischen Algorithmus. Für z_1\ne0 wird z_0=q_1z_1+z_2 mit |z_2|<|z_1| gebildet. Dazu wählt man q_1=m+n\mathrm{i} möglichst nahe bei \xi=z_0/z_1. Dann ist |q_1-\xi|\leq1/\sqrt2, also |z_2|\leq|z_1|/\sqrt2. Man setzt die Divisionen fort, bis der Rest null ist; der letzte von null verschiedene Rest ist der ggT.

Beispiel: Für z_0=5+\mathrm{i} und z_1=2 kann q_1=2 gewählt werden. Dann ist z_2=1+\mathrm{i}, und 2/(1+\mathrm{i})=1-\mathrm{i} liefert Rest null. Somit ist (5+\mathrm{i},2)=1+\mathrm{i}.

Kongruenzen, Restklassen und Norm

Zwei gaußsche Zahlen z_1,z_2 sind modulo einer gaußschen Zahl z_0 kongruent, wenn z_1-z_2=qz_0 für eine gaußsche Zahl q gilt. Schreibweise: z_1\equiv z_2\pmod{z_0}. Eine Restklasse \bar a enthält alle Zahlen, die zu a modulo z_0 kongruent sind. Es gilt \bar a=\bar b genau dann, wenn a\equiv b\pmod{z_0}.

Addition und Multiplikation sind verträglich mit Kongruenzen: Aus a_1\equiv b_1 und a_2\equiv b_2\pmod{z_0} folgt a_1+a_2\equiv b_1+b_2 sowie a_1a_2\equiv b_1b_2\pmod{z_0}. Daher bilden die Restklassen mit \bar a+\bar b=\overline{a+b} und \bar a\bar b=\overline{ab} einen kommutativen Restklassenring.

Modulo 1+\mathrm{i} gibt es genau zwei Restklassen; sie bilden in der Ebene ein Schachbrettmuster und können als gerade beziehungsweise ungerade gaußsche Zahlen verstanden werden. Modulo 2 gibt es genau vier Restklassen: \bar0,\bar1,\bar{\mathrm{i}},\overline{1+\mathrm{i}}.

Die Norm eines Moduls z_0=m+n\mathrm{i} ist N(z_0)=|z_0|^2=m^2+n^2. Genau diese Zahl ist auch die Anzahl seiner Restklassen. Ein geeignetes Quadrat im gedrehten und gestreckten Gitter enthält je einen minimalen Repräsentanten jeder Restklasse.

Prime Restklassengruppe und Fermat-Euler-Satz

Die prime Restklassengruppe modulo z besteht aus den Restklassen \bar a, deren Vertreter zu z teilerfremd sind, also (a,z)=1 erfüllen. Sie ist die multiplikative Gruppe der Einheiten des Restklassenrings. Ihre Anzahl heißt \phi(z).

Für ein Primelement p gilt \phi(p)=|p|^2-1. Für eine beliebige gaußsche Zahl z lautet die Produktformel \phi(z)=|z|^2\prod_{p_m\mid z}\left(1-\frac{1}{|p_m|^2}\right), wobei das Produkt über die verschiedenen Primteiler von z läuft.

Der Satz von Fermat-Euler überträgt sich direkt: Aus (a,z)=1 folgt a^{\phi(z)}\equiv1\pmod z. Er kann lineare Gleichungen ax+by=c lösen helfen. Nach dem Kürzen eines möglichen gemeinsamen Teilers von a,b,c darf (a,b)=1 angenommen werden. Dann liefert die Betrachtung modulo b die Lösung x\equiv ca^{\phi(b)-1}\pmod b, also x=ca^{\phi(b)-1}+ub mit beliebigem gaußschen u, und y=c\frac{1-a^{\phi(b)}}b-ua.

Offene Fragen

Mehrere ungelöste Probleme betreffen die Verteilung gaußscher Primzahlen in der komplexen Ebene. Das gaußsche Kreisproblem fragt nach der Anzahl der Gitterpunkte innerhalb eines Kreises um den Ursprung; gleichwertig ist die Anzahl gaußscher Zahlen mit Norm unter einer vorgegebenen Schranke.

Offen ist auch, ob es außer den reellen und imaginären Koordinatenachsen weitere Geraden mit unendlich vielen gaußschen Primzahlen gibt. Insbesondere ist nicht bekannt, ob unendlich viele Primzahlen der Form 1+k\mathrm{i} existieren.

Das 1962 von Basil Gordon aufgestellte gaußsche Grabenproblem fragt, ob man die Ebene bis ins Unendliche durchlaufen kann, indem man ausschließlich gaußsche Primzahlen als Stützstellen verwendet und dabei nur Schritte begrenzter Länge macht. Auch dieses Problem ist ungelöst.

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