Pentomino

Grundidee und Spielsteine

Ein Pentomino, auch Pentamino genannt, ist ein Polyomino der Ordnung 5: Es entsteht aus fünf gleich großen Quadraten, die jeweils Kante an Kante miteinander verbunden sind. Der Begriff bezeichnet außerdem ein Geduldsspiel für eine Person sowie darauf beruhende Spiele für mehrere Personen.

Bis auf Symmetrie gibt es genau 12 verschiedene Pentominos. Sie werden nach Buchstaben benannt, denen ihre Formen ungefähr ähneln. Die Steine L, Y, N, P, Z und F sind chiral beziehungsweise orientiert: Ihre Spiegelbilder lassen sich nicht allein durch Drehen erreichen. Durch Wenden eines solchen Steins erhält man jedoch sein Spiegelbild. Werden diese unterschiedlichen Orientierungen mitgezählt, ergeben die 12 Pentominos insgesamt 18 Formen.

Mit jeder einzelnen Pentominoform lässt sich die Ebene lückenlos parkettieren. Das gilt auch für die chiralen Formen, ohne dass die Steine dafür umgedreht werden müssen.

Legepuzzles für eine Person

Beim Pentomino-Puzzle sollen die zwölf Steine ähnlich wie beim Tangram zu vorgegebenen Figuren zusammengesetzt werden. Eine Hauptaufgabe besteht darin, alle zwölf Pentominos lückenlos zu einem Rechteck zu legen. Da jeder Stein fünf Quadrate bedeckt, umfasst das Rechteck immer 12 · 5 = 60 kleine Quadrate.

Für die möglichen Rechteckformate nennt der Artikel folgende Anzahlen von Lösungen: 3 × 20 besitzt 2 Lösungen, 4 × 15 besitzt 368, 5 × 12 besitzt 1010 und 6 × 10 besitzt 2339 Lösungen.

Weitere Aufgaben verwenden quadratische Felder mit Aussparungen. Für verschiedene 8 × 8-Anordnungen mit allen zwölf Platten werden 2170, 188, 65, 21 beziehungsweise 74 Lösungen angegeben. Daneben gibt es kleinere 7 × 7-Varianten mit neun Platten.

Eine andere Aufgabenart verlangt, die dreifach vergrößerte Gestalt eines Pentominos mit neun der elf anderen Steine auszufüllen. Ohne Spiegelungen beträgt die Zahl der möglichen Lösungen je nach Zielform: F 125, I 19, L 113, N 68, P 497, T 106, U 48, V 63, W 91, X 15, Y 86 und Z 131. Außerdem können Pentominos selbst aus Pentominos zusammengesetzt oder zu weiteren vorgegebenen Figuren gelegt werden.

Beim Geburtstagspuzzle werden zwölf Spielsteine auf einem 8 × 8-Spielfeld so angeordnet, dass genau vier Quadrate frei bleiben und ein bestimmtes Datum anzeigen.

Strategie- und Computerspiele

In einer möglichen Variante für zwei oder mehr Personen werden die Pentominos zunächst abwechselnd unter den Spielern verteilt. Alternativ können alle Steine in einem gemeinsamen Vorrat bleiben, aus dem die jeweils aktive Person vor ihrem Zug einen Stein auswählt. Anschließend legen die Spieler abwechselnd einen Stein auf ein zuvor bestimmtes Feld, beispielsweise ein Schachbrett mit 8 × 8 Feldern. Vor Spielbeginn muss festgelegt werden, ob die Teile gewendet werden dürfen, da dies bei den sechs nicht spiegelsymmetrischen Pentominos einen Unterschied macht. Wer zuerst keinen eigenen Stein mehr unterbringen kann, verliert.

Beim 1973 bei Hallmark erschienenen Spiel Pentominos werden die zwölf Steine abwechselnd auf ein Schachbrett gelegt. Wer den letzten möglichen Zug ausführt, gewinnt; für die beginnende Person existiert eine Gewinnstrategie. Weitere Spiele mit Pentomino- oder allgemein Polyomino-Steinen sind Blokus, Duopento, Patchwork, Kathedrale, Rumis, das Turm-Baumeisterspiel, Ubongo und Ubongo 3D. Kathedrale verwendet Gebäudeformen, die auf einem 10 × 10-Feld jeweils 1 bis 6 Felder belegen. In einer Ausgabe von „Schlag den Star“ vom 10. Dezember 2016 wurde eine Variante Katamino genannt: Gespielt wurde ohne Wenden, mit einem gemeinsamen Vorrat aus zwölf Teilen und auf einem 8 × 8-Feld.

Pentomino-Puzzles werden auch als Computerspiele umgesetzt. Sie inspirierten Alexei Paschitnow zu Tetris. Im von John Horton Conway entworfenen „Spiel des Lebens“, einem zweidimensionalen zellulären Automaten, zeigt eine Startfigur in Form des F-Pentominos zunächst ein chaotisches Verhalten. Vom 1103. Schritt an bildet sie eine oszillierende, also sich regelmäßig wiederholende Struktur.

Dreidimensionale Formen und Varianten

Werden die fünf Quadrate durch fünf Würfel ersetzt, entstehen dreidimensionale Pentominos, die auch Pentakuben heißen. Wie beim Somawürfel lassen sich daraus zahlreiche räumliche Objekte bauen. Für Quader nennt der Artikel 3940 Lösungen bei den Abmessungen 5 × 4 × 3, 264 Lösungen bei 6 × 5 × 2 und 12 Lösungen bei 10 × 3 × 2.

Einige Steine können außerdem vergrößert nachgebaut werden, wobei jeder Würfel der Zielform durch einen 2 × 2 × 3-Block ersetzt wird. Möglich ist dies für F mit 1 Lösung, P mit 1082, U mit 10, Z mit 24, T mit 3, V mit 21, N mit 51, Y mit 7 und L mit 99 Lösungen.

Polyominos können auch aus einer anderen Anzahl von Quadraten bestehen. Hexaminos aus sechs Quadraten besitzen 35 verschiedene Platten, Heptaminos 108 und Oktaminos 369. Aus vier Quadraten entstehen fünf verschiedene Tetramino-Platten; werden Spiegelbilder mitgezählt, die nicht durch Drehung erreichbar sind, gibt es sieben Formen. Diese Formen wurden für Tetris verwendet.

Statt Quadraten können gleichseitige Dreiecke, Sechsecke, Rechtecke oder Gruppen aus mehreren verschiedenen Figuren verwendet werden. Die Grundflächen müssen auch nicht mit einer ganzen Kante verbunden sein, sondern können beispielsweise um eine halbe Kantenlänge versetzt werden. Das L-Spiel ist eine Zweipersonenvariante, bei der jede Person nur eine Spielfigur besitzt.

Bei „parallel polarisierten“ Spielsteinen denkt man sich die Ebene von parallelen senkrechten oder waagerechten Polarisationsfeldern durchzogen. Von den meisten Pentominos gibt es dann eine waagerechte und eine senkrechte Ausführung. W, X und V sind dagegen „in sich selbst“ polarisiert und kommen nur einmal vor. Insgesamt entstehen so 21 Teile. In einem Puzzle dürfen alle Teile ausschließlich in einer Polarisationsrichtung verwendet werden.

Periodische Muster

Sind die zwölf Pentomino-Fliesen biegbar, können sie den Mantel eines passend bemessenen geraden Kreiszylinders lückenlos und ohne Überlappungen bedecken. Beim Legen in einem Rechteck begrenzen vier Seiten die Anordnung; auf dem Zylinder gibt es nur in zwei Richtungen Grenzen, weil die Mantellinien kein Hindernis bilden. Wird der Zylindermantel unbegrenzt in die Ebene abgerollt, entsteht ein unendlich langer Streifen. Darauf wiederholt sich periodisch ein Muster, das jeweils genau eine der zwölf Pentomino-Fliesen enthält.

Periodizität ist auch in zwei Richtungen möglich. Die gesamte Ebene wird dann mit einem Muster aus den zwölf verschiedenen Pentominos parkettiert, das durch Verschiebungen, sogenannte Translationen, in zwei Richtungen auf sich selbst abgebildet wird. Ein Fundamentalbereich ist der kleinste wiederholte Musterbereich; als Beispiel nennt der Artikel einen einfach zusammenhängenden Fundamentalbereich mit den Perioden 10 und 6.

Anders als ein periodischer Streifen, der einem Zylindermantel entspricht, lässt sich ein doppelt periodischer Fundamentalbereich nicht längentreu auf eine passende geschlossene Fläche übertragen. Ein Torus kann jedoch durch gleichmäßig angeordnete Längen- und Breitenkreise in 60 Vierecke unterteilt und nach dem Muster des Fundamentalbereichs bemalt werden.

Die Zahl periodischer Lösungen ist meist wesentlich höher als bei gewöhnlichen Rechtecken. Für a × b werden folgende Werte angegeben, jeweils in der Reihenfolge Rechteck, Zylinder und Ebene: 3 × 20: 2, 281728, 160768; 4 × 15: 368, 628610, 672778; 5 × 12: 1010, 1844817, 1315356; 6 × 10: 2339, 576619, 1329411; 10 × 6: 2339, 28996, 1329411; 12 × 5: 1010, 8272, 1315356; 15 × 4: 368, 901, 672778; 20 × 3: 2, 2, 160768. Dabei bezeichnet beim Rechteck a und b die Seitenlängen, beim Zylinder a den Umfang und b die Höhe sowie bei der Ebene a und b die beiden Perioden.