Pareto-Optimum – einfach erklärt

Grundidee und Bedeutung

Ein Pareto-Optimum, auch Pareto-effizienter Zustand, ist ein Zustand, in dem sich keine Zieleigenschaft verbessern lässt, ohne zugleich eine andere zu verschlechtern. Bei mehreren konkurrierenden Zielen bezeichnet es daher einen bestmöglichen Kompromiss, nicht unbedingt eine einzige eindeutig beste Lösung. Eine Veränderung heißt Pareto-Verbesserung, wenn sie mindestens einen Zielwert verbessert und keinen anderen verschlechtert. Der neue Zustand ist dann Pareto-superior.

Auf Individuen bezogen ist ein Zustand Pareto-optimal, wenn niemand besser gestellt werden kann, ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen. In der Volkswirtschaft bedeutet dies, dass sich die Güterversorgung beziehungsweise Wohlfahrt eines Wirtschaftssubjekts nicht erhöhen lässt, ohne die Wohlfahrt eines anderen zu verringern. Das Verfahren zur Suche solcher Zustände heißt Pareto-Optimierung. In kooperativen Spielen maximieren Pareto-optimale Strategien den Allgemeinnutzen.

Die Gesamtheit aller Pareto-Optima heißt Pareto-Menge oder Pareto-Front. Sie umfasst die optimalen Kompromisse, zwischen denen das Pareto-Kriterium allein häufig keine weitere Rangfolge herstellen kann.

Pareto-Ordnung und formale Definition

Bei einer Mehrzieloptimierung werden mehrere Teilziele f_i zu einer vektorwertigen Zielfunktion f⃗ = (f₁, …, fₙ)ᵀ zusammengefasst. Für n > 1 existiert im Allgemeinen keine totale Ordnung, die sämtliche Lösungen vergleichen könnte, ohne eines der Ziele zu bevorzugen. Zwei Lösungen können deshalb unvergleichbar sein. Stattdessen verwendet man die Pareto-Ordnung, eine partielle Ordnung.

Bei einem Minimierungsproblem paretodominiert y⃗⁽¹⁾ eine Lösung y⃗⁽²⁾ genau dann, wenn y⃗⁽¹⁾ in keinem Ziel schlechter und in mindestens einem Ziel echt besser, also kleiner, ist:

∀i ∈ {1, …, m}: yᵢ⁽¹⁾ ≤ yᵢ⁽²⁾ und ∃j ∈ {1, …, m}: yⱼ⁽¹⁾ < yⱼ⁽²⁾.

Dafür schreibt man y⃗⁽¹⁾ ≺ y⃗⁽²⁾. Eine Lösung ist Pareto-optimal, wenn keine andere zulässige Lösung sie auf diese Weise dominiert. Gilt f⃗(x₁) ≺ f⃗(x₂), so sagt man, x₁ paretodominiere die Alternative x₂, und schreibt x₁ ≺f⃗ x₂.

Mengenlehrlich kann die Definition auch auf nichtnumerische Größen angewendet werden. Für eine Menge A von n-Tupeln und vergleichbare Tupelelemente lautet sie bei einer Maximierung:

x ist Pareto-Optimum ⇔ ¬(∃y: (∀i: yᵢ ≥ xᵢ) ∧ (∃i: yᵢ > xᵢ)).

Es darf also kein y geben, das in allen Komponenten mindestens so gut wie x und in wenigstens einer Komponente besser ist. Die Faktoren müssen nicht zahlenmäßig messbar sein; es genügt, dass sie vergleichend geordnet werden können. So können grundsätzlich auch nicht genau bezifferbare Empfindungen von Versuchspersonen berücksichtigt werden.

Pareto-Menge und Darstellung

Da bei mehreren Zielen häufig keine eindeutig beste Lösung existiert, sucht man die Menge aller Lösungen, bei denen die Verbesserung eines Zielfunktionswertes nur durch die Verschlechterung eines anderen möglich wäre. Die Elemente dieser Pareto-Menge sind pareto-optimal.

Gewichtungsfaktoren können ausdrücken, wie wichtig einzelne Teilziele subjektiv sind. Ist die Pareto-Menge bekannt, enthält sie für beliebige relative Gewichtungen jeweils mindestens eine bei dieser Gewichtung optimale Lösung. In der Wirtschaft können solche Gewichtungen beispielsweise durch Indifferenzkurven dargestellt werden. Die vollständige Pareto-Menge lässt sich jedoch im Allgemeinen nicht allein durch unterschiedliche Gewichtungen einer skalarisierten, also auf einen einzelnen Gesamtwert zurückgeführten Zielfunktion bestimmen. Insbesondere bei einer nicht konvexen Pareto-Front werden durch lineare Gewichtungen nicht alle Pareto-effizienten Punkte gefunden.

Bei n Zielen bildet die Pareto-Menge eine (n − 1)-dimensionale Hyper-Grenzfläche. In einem linearen Optimierungsproblem ist sie ein Ausschnitt einer Hyperebene. Bei zwei Kriterien ist die Pareto-Front eine streng monoton fallende, aber nicht notwendigerweise stetige Grenzlinie. Ab vier Dimensionen ist keine direkte Darstellung mehr möglich; der Lösungsraum kann dann beispielsweise mithilfe eines Sterndiagramms interaktiv untersucht werden.

Typische Beispiele

Beim Entwurf eines Bauteils sollen Festigkeit und Leichtigkeit, also der Kehrwert der Masse, maximiert werden. Bei gleicher Masse ist das festere Bauteil besser; bei gleicher Festigkeit ist das leichtere besser. Wird dagegen ein Wert verbessert und der andere verschlechtert, sind die Lösungen nach dem Pareto-Kriterium nicht vergleichbar. Die Bauteile auf der Pareto-Front bilden die Menge optimaler Kompromisse: Mehr Festigkeit ist dort nur auf Kosten der Leichtigkeit möglich und umgekehrt. Eine zusätzliche Anforderung oder eine Norm, die beide Größen in einen Wert überführt, kann daraus eine eindeutig optimale Lösung auswählen. Sind die Größen nicht entsprechend vergleichbar, lässt sich mitunter keine solche Norm finden.

Ein zweites Beispiel betrachtet die Standorte b1 bis b5 für einen Brunnen und drei Personen A, B und C. Bewertet werden die Entfernungen zu ihren Häusern:

• b1: (158,1 m; 150,0 m; 158,1 m) • b2: (111,8 m; 100,0 m; 111,8 m) • b3: (141,4 m; 111,8 m; 100,0 m) • b4: (70,7 m; 50,0 m; 70,7 m) • b5: (111,8 m; 70,7 m; 50,0 m)

Da kürzere Entfernungen besser sind, dominiert b2 den Standort b1 und b4 wiederum b2. Standort b5 dominiert b3. Somit sind b1, b2 und b3 nicht Pareto-optimal. Die Pareto-Menge lautet {b4, b5}. Zwischen b4 und b5 kann das Pareto-Kriterium nicht entscheiden: Der Wechsel von einem Standort zum anderen stellt mindestens eine Person besser und eine andere schlechter. Das Beispiel zeigt zugleich, dass das Kriterium Vor- und Nachteile verschiedener Personen nicht gegeneinander abwägt.

Wirtschaftliche Anwendung, Voraussetzungen und Kritik

In der Produktion liegen Pareto-effiziente Güterbündel auf der Produktionsmöglichkeitenkurve: Von keinem Gut lässt sich eine zusätzliche Einheit herstellen, ohne die Produktion eines anderen Gutes einzuschränken. Allgemeiner ist eine gesellschaftliche Situation ökonomisch effizient oder Pareto-optimal, wenn keine Re-Allokation der Ressourcen die Wohlfahrt eines Individuums erhöhen kann, ohne die eines anderen zu senken. Pareto-ineffizient ist sie, wenn eine andere Allokation wenigstens eine Person besser und niemanden schlechter stellt.

Für Pareto-Optimalität einer Volkswirtschaft nennt der Artikel zwei Bedingungen:

Tauschoptimum: Die marginalen Nutzengewinne aller von einem Individuum konsumierten Güter sind identisch. Die Grenzraten der Substitution sind damit gleich; dies entspricht dem Zweiten Gossenschen Gesetz. Das Individuum konsumiert dann die Güterkombination, die seinen Nutzen maximiert.
Optimaler Faktoreinsatz: Die Grenzproduktivitäten der eingesetzten Produktionsfaktoren müssen gleich sein, damit die größtmögliche Gütermenge hergestellt wird.

Monopole, Externalitäten, Informationsasymmetrien und öffentliche Güter können gleichzeitig Abweichungen von diesen Bedingungen verursachen. Nach der Theorie des Zweitbesten ist dann unklar, ob eine einzelne Maßnahme, die nur eine Bedingung herstellt, die Effizienz tatsächlich erhöht.

Das Pareto-Kriterium ersetzte in der ökonomischen Theorie weitgehend das utilitaristische Kriterium der Summe individueller Nutzen. Statt Nutzen als zahlenmäßig, also kardinal, messbar und zwischen Personen vergleichbar anzusehen, verwendet es ordinale Präferenzordnungen: Eine Person ordnet Möglichkeiten lediglich als besser, gleich gut, schlechter oder nicht entscheidbar ein. Ein gemeinsamer, interpersonaler Nutzenmaßstab ist nicht erforderlich. Die Interessen der Individuen werden insofern gleich behandelt, als es für das Kriterium keine Rolle spielt, welche Person besser oder schlechter gestellt wird.

Für sich genommen befürwortet das Kriterium jede Veränderung, die jemandem nutzt und niemandem schadet. Es bewertet jedoch weder Verteilungsgerechtigkeit noch die relative Bedeutung von Gewinnen und Verlusten. Problematisch kann insbesondere die Verbindung mit einer Status-quo-Regel sein: Wenn ohne Einigung der bestehende Zustand erhalten bleibt, kann bereits der Nachteil eines einzigen Eigentümers jede Veränderung verhindern. Das wirkt zugunsten bestehender Verhältnisse.

Auch in der Sozialwahltheorie ist das Kriterium umstritten. Amartya Sen behauptete 1970 die „Unmöglichkeit eines Pareto-Liberalen“: Unter bestimmten Annahmen können individuelle Entscheidungsrechte beziehungsweise eine liberale soziale Präferenz mit dem Pareto-Kriterium in Konflikt geraten. Sein Beispiel zur Lektüre von Lawrence’ Lady Chatterley’s Lover soll zeigen, dass eine nach liberalen Rechten gewählte Lösung von der Pareto-optimalen Lösung abweichen kann.

Praktisch stellen staatliche Maßnahmen oder Gesetzesänderungen nur selten tatsächlich niemanden schlechter. Guido Calabresi argumentierte außerdem, Pareto-Optimalität könne dem Staat kaum als Leitlinie dienen: Unter den Annahmen des Coase-Theorems hätten rationale Personen Pareto-optimale Lösungen bereits privat ausgehandelt. Staatliche Entscheidungen hätten daher notwendigerweise Verteilungswirkungen und stellten einige Betroffene schlechter.