Normale Konvergenz

Bedeutung der normalen Konvergenz

Normale Konvergenz ist ein Begriff zur Untersuchung unendlicher Reihen von Funktionen. Sie ist ein relativ starker Konvergenzbegriff: Sie sichert insbesondere lokale gleichmäßige Konvergenz und erlaubt dadurch wichtige Aussagen über die Grenzfunktion, etwa deren Stetigkeit.

Definition

Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Für eine Funktion f:X→ℂ und eine Teilmenge A von X ist die Supremumsnorm definiert durch

‖f‖A:=sup{x∈A}|f(x)|.

Eine Funktionenreihe ∑_{n=0}^∞ f_n mit f_n:X→ℂ heißt normal konvergent, wenn es zu jedem Punkt x∈X eine Umgebung U von x gibt, für die

∑_{n=0}^∞ ‖f_n‖_U<∞

gilt. Die Beträge der Funktionen werden also auf einer geeigneten Umgebung nach oben abgeschätzt, und die Reihe dieser oberen Schranken muss konvergieren.

Beispiel mit einer geometrischen Reihe

Für f_n(x):=x^n auf dem kompakten Intervall I:=[-q,q] mit 0<q<1 gilt ‖f_n‖_I=q^n. Daher ist

∑_{n=0}^∞ ‖f_n‖I=∑{n=0}^∞ q^n.

Diese geometrische Reihe konvergiert, weil |q|<1. Somit ist die Funktionenreihe normal konvergent. Ihre Grenzfunktion ist x↦1/(1-x) und sie ist auf I stetig.

Folgen der normalen Konvergenz

Eine normal konvergente Reihe konvergiert lokal gleichmäßig: Zu jedem x_0∈X gibt es eine Umgebung U(x_0), in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Deshalb ist sie auch kompakt konvergent.

Weitere wichtige Eigenschaften sind:

• Linearkombinationen und das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.
• Sind alle f_n stetig, dann ist auch die Grenzfunktion ∑_{n=0}^∞ f_n stetig.
• Jede Umordnung einer normal konvergenten Reihe konvergiert ebenfalls normal und hat dieselbe Grenzfunktion.