Multiskalenanalyse

Grundidee und Bedeutung

Die Multiskalenanalyse (MRA, englisch multiresolution analysis), auch Multiskalenapproximation (MSA), ist eine grundlegende Konstruktion der Funktionalanalysis für den Funktionenraum L²(ℝ). Dieser Raum enthält die quadratisch integrierbaren Funktionen auf den reellen Zahlen. Die MRA bildet die mathematische Grundlage der Wavelet-Theorie und beschreibt die Approximationseigenschaften der diskreten Wavelet-Transformation. Insbesondere erklärt sie, warum die schnelle Wavelet-Transformation möglich ist und wie sie funktioniert.

Eine MRA zerlegt Funktionen nicht unmittelbar in einzelne Bestandteile, sondern betrachtet eine Folge ineinander geschachtelter Unterräume: {0} ⊂ … ⊂ V₂ ⊂ V₁ ⊂ V₀ ⊂ V₋₁ ⊂ V₋₂ ⊂ … ⊂ V₋ₙ ⊂ … ⊂ L²(ℝ).

Die Unterräume stehen für unterschiedliche Auflösungsstufen. Kleinere Indizes entsprechen dabei einer höheren Auflösung. Die Konstruktion muss Bedingungen zur Selbstähnlichkeit in Zeit beziehungsweise Raum und in Skala beziehungsweise Frequenz sowie Regularitäts- und Vollständigkeitsbedingungen erfüllen.

Bedingungen an die Unterräume

Selbstähnlichkeit in der Zeit bedeutet, dass jeder Unterraum Vₖ gegenüber Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von 2ᵏ invariant ist. Für jedes f ∈ Vₖ und m ∈ ℤ gibt es also ein g ∈ Vₖ mit f(x) = g(x + m2ᵏ).

Die Selbstähnlichkeit zwischen verschiedenen Skalen verlangt, dass die Unterräume zeitskalierte Kopien voneinander sind. Für Vₖ ⊂ Vₗ mit k > l beträgt der Skalierungs- oder Streckungsfaktor 2^(k−l). Zu jeder Funktion f ∈ Vₖ gibt es eine Funktion g ∈ Vₗ mit g(x) = f(2^(k−l)x). Hat f einen beschränkten Träger, also einen beschränkten Bereich, außerhalb dessen sie null ist, dann ist der Träger von g um den Faktor 2^(k−l) zusammengestaucht. Deshalb besitzt der l-te Unterraum eine höhere Auflösung als der k-te.

Die Regularitätsbedingung fordert, dass V₀ von den ganzzahligen Verschiebungen einer oder endlich vieler erzeugender Funktionen φ beziehungsweise φ₁, …, φᵣ aufgespannt wird. Diese Funktionen heißen Skalierungsfunktionen oder Vaterwavelets. Ihre Verschiebungen sollen mindestens eine Riesz-Basis, möglichst eine Hilbert-Basis von V₀ bilden. Eine Hilbert-Basis ist eine vollständige orthonormale Basis. Daraus folgt ein schneller Abfall der erzeugenden Funktionen im Unendlichen; bei kompaktem Träger ist diese Forderung automatisch erfüllt. Häufig werden stückweise stetige Skalierungsfunktionen mit kompaktem Träger konstruiert.

Vollständigkeit bedeutet zweierlei: Die Vereinigung ⋃ₖ∈ℤ Vₖ muss dicht in L²(ℝ) sein, sodass sich jede Funktion dieses Raums beliebig genau annähern lässt. Zugleich darf die Folge nicht redundant sein; deshalb muss ihr Durchschnitt ⋂ₖ∈ℤ Vₖ nur das Nullelement enthalten.

Skalierungsfunktion und Tiefpassmaske

Im praktisch wichtigsten Fall gibt es genau eine Skalierungsfunktion φ mit kompaktem Träger, deren ganzzahlige Verschiebungen eine Hilbert-Basis von V₀ erzeugen. Sie erfüllt die Zwei-Skalen-Gleichung, auch refinement equation genannt: φ(x) = ∑ₙ₌₋ᴺᴺ aₙ · φ(2x − n).

Die endliche Zahlenfolge a = {…, 0, a₋ᴺ, …, aᴺ, 0, …} heißt Skalierungsfolge oder Skalierungsmaske. Sie muss ein diskreter Tiefpassfilter sein. Dafür gelten ∑ₙ₌₋ᴺᴺ aₙ = 2 und ∑ₙ₌₋ᴺᴺ (−1)ⁿaₙ = 0.

Für die Fourierreihe â(ω) := ½∑ₖ₌₋ᴺᴺ aₖe^(iωk) bedeutet dies â(0) = 1 und â(π) = 0. Eine Grundaufgabe des Wavelet-Designs ist es, Bedingungen an a zu bestimmen, aus denen gewünschte Eigenschaften von φ wie Stetigkeit oder Differenzierbarkeit folgen.

Soll φ orthogonal zu allen eigenen ganzzahligen Verschiebungen sein, müssen zusätzlich ∑ₙ₌₋ᴺᴺ aₙ² = 2 und ∑ₙ₌₋ᴺᴺ aₙaₙ₊₂ₘ = 0 für 0 ≠ m ∈ ℤ gelten. Mit der Fourierreihe lautet dieselbe Bedingung |â(ω)|² + |â(ω + π)|² ≡ 1.

Laurent-Polynome und Beispiele

Skalierungsfolgen werden üblicherweise als Koeffizienten eines Laurent-Polynoms angegeben: a(Z) = ∑ₙ₌₋ᴺᴺ aₙZⁿ, wobei â(ω) = a(e^(iω)) gilt. In dieser Schreibweise lautet die Normierung a(1) = 2. Die Tiefpasseigenschaft ist a(−1) = 0. Allgemeiner kann sie als a(Z) = (1 + Z)ᴬp(Z) mit 0 < A ∈ ℕ geschrieben werden. Die Orthogonalitätsbedingung lautet a(Z)a(Z⁻¹) + a(−Z)a(−Z⁻¹) = 4.

Beim Haar-Wavelet ist die Skalierungsmaske a(Z) = 1 + Z. Das Wavelet der Ordnung A = 2 aus der Daubechies-Familie besitzt die Maske a(Z) = ¼(1 + Z)²((1 + Z) + √3(1 − Z)).

Aufbau der Wavelet-Unterräume

Aus einer orthogonalen Skalierungsfunktion φ wird das affine Funktionensystem φⱼ,ₖ(x) = 2^(−j/2)φ(2^(−j)x − k) gebildet. Die zugehörigen Skalierungsunterräume sind Vⱼ = span(φⱼ,ₖ : k ∈ ℤ). Dann gilt Vⱼ₊₁ ⊂ Vⱼ, und {φⱼ,ₖ : k ∈ ℤ} ist eine orthonormale Basis von Vⱼ.

Für eine beliebige ungerade Zahl K ∈ ℤ wird aus der Skalierungsfolge a die Wavelet-Folge b mit bₙ := (−1)ⁿaₖ₋ₙ definiert. Das Wavelet ergibt sich als ψ(x) := ∑ₙ₌ₖ₋ᴺᴷ⁺ᴺ bₙ · φ(2x − n). Die Wavelet-Unterräume lauten Wⱼ = span(ψⱼ,ₖ(x) = 2^(−j/2)ψ(2^(−j)x − k) : k ∈ ℤ).

Diese Unterräume enthalten jeweils die Detailinformation, die beim Übergang zwischen zwei Auflösungsstufen hinzukommt. Daraus entsteht die als Fischgräte bekannte orthogonale Zerlegung V₀ = W₁ ⊕ V₁ = W₁ ⊕ W₂ ⊕ V₂ = … und allgemein Vⱼ = Wⱼ₊₁ ⊕ … ⊕ Wₘ ⊕ Vₘ für J < M.

Die zentrale analytische Forderung ist, dass die Wavelet-Unterräume den gesamten Raum L²(ℝ) ausschöpfen: Die orthogonale Summe ⨁ₙ₌₋∞^∞ Wₙ soll ein dichter Unterraum von L²(ℝ) sein.