Mittlere absolute Abweichung

Kernidee

Die mittlere absolute Abweichung, kurz MAD, ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik. Ein Streuungsmaß beschreibt, wie stark die Werte einer Stichprobe um einen Mittelwert verteilt sind. Als Mittelwert kann entweder das arithmetische Mittel oder der Median verwendet werden.

Im Unterschied zur empirischen Varianz werden die Abstände zum betrachteten Mittelwert nicht quadriert, sondern als Beträge genommen. Dadurch werden große Abweichungen weniger stark gewichtet. Deshalb gilt die mittlere absolute Abweichung, besonders in Verbindung mit dem Median, als robustes Streuungsmaß: Sie ist weniger empfindlich gegenüber Ausreißern als zum Beispiel die Standardabweichung.

Abweichung vom arithmetischen Mittel

Für eine Stichprobe x₁, x₂, …, xₙ mit dem arithmetischen Mittel x̄ ist die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel definiert als:

d_x̄(x) = 1/n · Σᵢ₌₁ⁿ |xᵢ − x̄|.

Dabei wird für jeden Stichprobenwert xᵢ der absolute Abstand zum arithmetischen Mittel x̄ berechnet. Diese Abstände werden addiert und anschließend durch die Anzahl n der Werte geteilt. Das Ergebnis gibt an, wie weit die Werte im Durchschnitt vom arithmetischen Mittel entfernt sind.

Abweichung vom Median

Für eine Stichprobe x₁, x₂, …, xₙ mit Median x̃ gibt es zwei Definitionen der mittleren absoluten Abweichung vom Median.

Die erste Definition ist das arithmetische Mittel der absoluten Abweichungen vom Median:

ẑd₀,₅ = 1/n · Σᵢ₌₁ⁿ |xᵢ − x̃|.

Die zweite Definition ist der Median der absoluten Abweichungen vom Median. Sie wird auch Median-Abweichung genannt:

ẑd_Med = median(|xᵢ − x̃|).

Diese beiden Werte sind im Allgemeinen verschieden. Außerdem unterscheiden sie sich fast immer von der mittleren absoluten Abweichung vom arithmetischen Mittel.

Wichtige Eigenschaften

Betrachtet man die mittlere absolute Abweichung von einem beliebigen Wert m,

A(m) = 1/n · Σᵢ₌₁ⁿ |xᵢ − m|,

so ist A(m) minimal, wenn m der Median ist. Das bedeutet: Die absoluten Abweichungen sind im Durchschnitt am kleinsten, wenn man sie vom Median aus misst.

Dazu gibt es ein entsprechendes Ergebnis für die mittlere quadratische Abweichung: Sie wird genau dann minimal, wenn m das arithmetische Mittel ist. In diesem Sinn ist die mittlere absolute Abweichung ein natürliches Streuungsmaß um den Median, während die mittlere quadratische Abweichung ein natürliches Streuungsmaß um das arithmetische Mittel ist.

Die mittlere absolute Abweichung vom Median ist robust gegenüber Ausreißern, weil sie den robusten Median verwendet. Das ist besonders wichtig, wenn Ausreißer aus einem Datensatz entfernt werden sollen. Das übliche Verfahren, alle Werte zu streichen, die mehr als drei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt sind, kann problematisch sein, weil sowohl das arithmetische Mittel als auch die Standardabweichung selbst durch Ausreißer verzerrt werden können. Unempfindlicher ist ein Verfahren, bei dem alle Werte gestrichen werden, die mehr als das k-fache der Median-Abweichung vom Median abweichen. Der Faktor k hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ab.

Beispielrechnung

Für die Stichprobe 10, 9, 15, 13, 16 beträgt das arithmetische Mittel:

x̄ = 1/5 · (10 + 9 + 15 + 13 + 16) = 63/5 = 12,6.

Die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel ist daher:

d_x̄ = 1/5 · (|10 − 12,6| + |9 − 12,6| + |15 − 12,6| + |13 − 12,6| + |16 − 12,6|) = 1/5 · (2,6 + 3,6 + 2,4 + 0,4 + 3,4) = 2,48.

Der Median derselben Stichprobe ist x̃ = 13. Das arithmetische Mittel der absoluten Abweichungen vom Median ergibt:

ẑd₀,₅ = 1/5 · (|10 − 13| + |9 − 13| + |13 − 13| + |15 − 13| + |16 − 13|) = 1/5 · (3 + 4 + 0 + 2 + 3) = 2,4.

Die Median-Abweichung ist dagegen:

ẑd_Med = median(3, 4, 0, 2, 3) = 3.

Das Beispiel zeigt, dass je nach gewähltem Mittelpunkt und je nach Definition unterschiedliche Streuungswerte entstehen können.