Mathematik des Glücksspiels

Grundidee und Wahrscheinlichkeitsräume

Die Mathematik des Glücksspiels umfasst Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die auch in die Spieltheorie einfließen können. Ein Spiel wird mathematisch als Experiment betrachtet: Ein technischer Ablauf wie Würfeln, Kartengeben oder Drehen eines Rades erzeugt zufällige Ereignisse in einem endlichen Möglichkeitsraum. Ereignisse sind Teilmengen dieses Raumes; der Ereignisraum bildet eine Boolesche Algebra.

Ein Elementarereignis enthält genau einen möglichen Ausgang, etwa beim Würfeln {3}. Ein zusammengesetztes Ereignis vereinigt mehrere Ausgänge, beispielsweise {3, 5} = {3} ∪ {5}. Ereignisse heißen exklusiv oder inkompatibel, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können und ihre Schnittmenge leer ist. So sind {3, 5} und {4} bei einem einzelnen Würfelwurf exklusiv. Nicht-exklusive Ereignisse besitzen dagegen gemeinsame Ergebnisse, wie {1, 2, 5} und {2, 5}.

Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich gegenseitig nicht. Beim nacheinander ausgeführten Werfen zweier Würfel sind „3 beim ersten Würfel“ und „5 beim zweiten Würfel“ unabhängig. Beim Austeilen aus demselben Kartendeck können Ereignisse dagegen abhängig sein, weil bereits verteilte Karten die verbleibenden Möglichkeiten verändern.

Beim Texas Hold’em ist die konkrete Ausgabe (3♣, 3♦) ein Elementarereignis. „Zwei 3er erhalten“ ist ein zusammengesetztes Ereignis aus sechs möglichen Farbkombinationen. Zwei Spieler können gleichzeitig jeweils ein Paar Könige bekommen, weshalb diese Ereignisse nicht exklusiv sind. Solche Einteilungen in zusammengesetzte, exklusive und unabhängige Ereignisse sind grundlegend für die praktische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Kombinatorik beim Glücksspiel

Die Kombinatorik zählt und ordnet mögliche Ergebnisse. Kombinationen, Permutationen und Anordnungen treten in nahezu allen Glücksspielen auf: bei Karten auf der Hand oder auf dem Tisch, Zahlen beim Würfeln, Lotto und Bingo, Symbolfolgen an Spielautomaten sowie Platzierungen bei Rennen. Viele Wahrscheinlichkeiten nach der klassischen Definition werden ermittelt, indem man günstige und insgesamt mögliche Kombinationen zählt.

Ein Ereignis lässt sich dabei häufig als Menge bestimmter Kombinationen auffassen. In einem Pokerspiel mit fünf Karten entspricht das Ereignis „Vierling“ allen Händen des Typs (xxxxy), wobei x und y verschiedene Kartenwerte sind. Die Zahl dieser Kombinationen beträgt 13C(4,4)(52−4) = 624. Beispiele sind (3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣) und (7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣). Jede konkrete Kartenhand kann wiederum als Elementarereignis betrachtet werden.

Langfristige Rendite und typische Denkfehler

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich bei sehr vielen Wiederholungen zufällige Schwankungen zunehmend ausgleichen und sich das arithmetische Mittel der Ergebnisse dem mathematisch erwarteten Wert annähert. Bei vielen Münzwürfen erscheinen Kopf und Zahl daher jeweils ungefähr in der Hälfte der Fälle. Kurzfristig bleiben Gewinn und Verlust zufällig; langfristig setzt sich jedoch die durch Regeln und Wahrscheinlichkeiten bestimmte Rendite durch.

Die erwartete Rendite ist positiv, wenn der mathematische Erwartungswert des Gewinns größer als null ist, und negativ, wenn er kleiner als null ist. Nach Darstellung des Artikels entscheidet diese durch Spielregeln und Strategie beeinflusste Rentabilität langfristig darüber, ob gewonnen oder verloren wird. Bei negativer Rendite wird der Verlust mit wachsender Spieldauer durch das Gesetz der großen Zahlen immer wahrscheinlicher. Casinos gestalten Spiele gewöhnlich so, dass ihre eigene Rendite positiv ist.

Das sogenannte Gesetz der kleinen Zahlen ist kein mathematisches Gesetz, sondern eine psychologische Verzerrung: Die Verteilung einer kleinen Stichprobe wird fälschlich für repräsentativ für die Gesamtverteilung gehalten. Ein Beispiel ist der „Spielertrick“ beziehungsweise Spielerfehlschluss. Nach zehn Würfen mit Kopf kann Zahl beim nächsten Wurf wahrscheinlicher erscheinen. Tatsächlich bleiben bei einer fairen Münze die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl bei jedem unabhängigen Wurf jeweils 0,5. Vergangene Würfe verändern den nächsten Wurf nicht. Wer kleine und große Stichproben gleich behandelt, überschätzt kurzfristige Muster; das Casino stützt seine Kalkulation dagegen auf sehr viele Spiele.

Erwartungswert, Hausvorteil und Strategie

Glücksspiele bestehen nicht nur aus isolierten Zufallsereignissen. Bei Spielen mit Entscheidungen beeinflusst menschliches Handeln den Verlauf, weshalb Spieler Wahrscheinlichkeiten, Statistiken und andere Informationen für Strategien verwenden. Zufällige Verfahren wie Kartenmischen behandeln die Spieler grundsätzlich gleich, sofern kein Betrug vorliegt. Sind der Zufall ideal und die Erwartungen negativ, können Spieler mathematisch nicht langfristig und regelmäßig gewinnen.

Der Hausvorteil oder House Advantage (HE), auch Vigorish genannt, ist der erwartete Gewinn des Casinos als Prozentsatz des ursprünglichen Einsatzes. Er entsteht insbesondere dadurch, dass die Auszahlung niedriger als die „wahre Quote“ ist. Hat ein Ereignis eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/6, entspräche eine faire Auszahlung dem Fünffachen des Einsatzes; zahlt das Casino nur das Vierfache, besitzt es einen Vorteil. Bei Spielen wie Blackjack oder Spanish 21 kann der endgültige Einsatz durch Verdoppeln oder Teilen ein Vielfaches des ursprünglichen Einsatzes werden.

Beim amerikanischen Roulette gibt es 36 gewöhnliche Zahlen sowie zwei Nullen. Von den gewöhnlichen Zahlen sind 18 rot und 18 schwarz. Bei einem Einsatz von 1 $ auf Rot beträgt die Chance auf einen Gewinn von 1 $ 18/38 und die Chance auf einen Verlust von 1 $ 20/38. Die Spielererwartung ist EV = (18/38 × 1) + (20/38 × −1) = −2/38 = −5,26 %. Der Hausvorteil beträgt somit 5,26 %. Bei zehn Runden mit je 1 $ Einsatz ergibt sich ein durchschnittlicher Hausgewinn von 10 × 1 $ × 5,26 % = 0,53 $. Dieser Betrag ist ein langfristiger Mittelwert, kein garantierter Gewinn in einer einzelnen Serie.

Der Hausvorteil unterscheidet sich stark: Bei Keno beträgt er bis zu 25 %, bei Spielautomaten bis zu 15 % und bei den meisten australischen Pontoonspielen zwischen 0,3 % und 0,4 %. Für Roulette ist seine Berechnung einfach; andere Spiele erfordern kombinatorische Analysen oder Computersimulationen. Bei Spielen mit Geschicklichkeit wird der Hausvorteil für optimales Spiel nach der „Basisstrategie“ angegeben, jedoch ohne fortgeschrittene Techniken wie Kartenzählen. Gute Blackjack- und Spanish-21-Spiele haben einen Hausvorteil von weniger als 0,5 %. Bei Online-Spielautomaten bezeichnet RTP („Return to Player“) die theoretische Rückzahlungsquote; kurzfristig kann trotz eines festen RTP fast jedes Ergebnis auftreten.

Schwankungen und Standardabweichung

Die Standardabweichung (SD) misst die Streuung der Ergebnisse und damit den Glücks- oder Schwankungsfaktor eines Casinospiels. Für eine Binomialverteilung gilt SD = √(npq), wobei n die Zahl der Runden, p die Gewinnwahrscheinlichkeit und q die Verlustwahrscheinlichkeit ist. Bei Roulette-Wetten mit gleichem Gewinn und Verlust lautet die Formel unter Berücksichtigung des Einsatzes b: SD = 2b√(npq), mit p = 18/38 und q = 20/38.

Nach 100 Runden amerikanischem Roulette mit je 1 $ Einsatz beträgt die Standardabweichung ungefähr 9,99 $, während der erwartete Verlust 100 × 1 $ × 2/38 ≈ 5,26 $ beträgt. Der 3-Sigma-Bereich reicht vom Mittelwert drei Standardabweichungen nach unten und oben, hier also ungefähr von −34 $ bis 24 $. Laut Artikel liegt die Chance für ein Ergebnis außerhalb dieses Bereichs bei 1:400.

Nach hinreichend vielen Runden nähert sich die Verteilung des Gesamtgewinns einer Normalverteilung. Für wenige Runden ist diese Annäherung ungeeignet; Spiele mit hoher Volatilität benötigen besonders viele Runden. Da die Standardabweichung nur proportional zur Quadratwurzel der Rundenzahl wächst, der erwartete Verlust bei negativem Erwartungswert aber proportional zur Rundenzahl, überwiegt langfristig der erwartete Verlust. Große kurzfristige Schwankungen können dennoch den Eindruck erwecken, das Spiel sei dauerhaft zu schlagen.

Der Volatilitätsindex (VI) ist die Standardabweichung einer Runde bei einem Einsatz von einer Einheit. Für eine amerikanische Roulette-Wette auf Rot oder Schwarz wird VI = √(18/38 × 20/38) ≈ 0,499 angegeben; die zugehörige Varianz beträgt etwa 0,249. Für Blackjack liegt die Varianz bei ungefähr 1,2, während elektronische Geldspielautomaten oft deutlich stärker schwanken. Ein auf einem 90-%-Konfidenzintervall beruhender Volatilitätsindex ist ungefähr 1,645-mal so hoch wie der normale Index zum Konfidenzintervall von etwa 68,27 %. Casinos benötigen den Hausvorteil zur Schätzung des Gewinns in Prozent des Umsatzes und den Volatilitätsindex zur Planung ihrer Barreserven.

Gewinnwahrscheinlichkeit beim Bingo

Wenn es keine gleichzeitigen Gewinner gibt, schließen sich Gewinn und Verlust aus: P(Win) = 1 − P(Loss). Bei n Spielern mit je einer Karte und gleichen Gewinnchancen gilt P(P₁) = P(P₂) = … = P(Pₙ). Weil genau einer gewinnt, folgt P(P₁) = 1/n.

Werden insgesamt n_C Karten gespielt, besitzt jede Karte die Gewinnchance P(C₁) = 1/n_C. Besitzt ein Spieler m Karten, gewinnt er, wenn eine davon gewinnt. Ohne gleichzeitige Gewinner gilt deshalb P(P₁) = m/n_C. Mehr eigene Karten erhöhen somit die Gewinnwahrscheinlichkeit.

Bei Spielarten mit gleichzeitigen Gewinnern wird der Gewinn unter diesen aufgeteilt. Für eine bestimmte Karte wird die Gewinnwahrscheinlichkeit mit P(C₁) = P(w)·w/n_C beschrieben, wobei P(w) die Wahrscheinlichkeit von w gleichzeitigen Gewinnern ist. Durch die gleichmäßige Aufteilung des Topfes bleibt der erwartete Auszahlungsanteil einer Karte E = 1/n_C. Gleichzeitige Gewinner verändern den erwarteten Ausgang daher nicht, sofern der Topf gleichmäßig geteilt wird.

Der Artikel vergleicht außerdem m Karten in einem Spiel mit je einer Karte in m verschiedenen Spielen. Spielen n Personen und besitzt jeder Gegner nur eine Karte, gilt für mehrere eigene Karten: P(win)_multiplecards = m/(m+n−1). Für mindestens einen Gewinn in m getrennten Spielen gilt: P(win)_multiplegames = 1−(1−1/n)^m. Bei m = 1 sind beide Wahrscheinlichkeiten gleich. Für m > 1 gilt P(win)_multiplegames > P(win)_multiplecards. Der Vorteil mehrerer Spiele wächst mit m und nimmt mit n ab. Nach diesem Wahrscheinlichkeitsvergleich ist es daher günstiger, mehrere Spiele mit je einer Karte zu spielen als mehrere Karten in nur einem Spiel.