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Magisches Sechseck
Ein magisches Sechseck ist eine sechseckige Anordnung von Zahlen, bei der die Summen aller Reihen in den drei Richtungen jeweils den gleichen Wert ergeben.
Inhalt5 Abschnitte
Grundidee und Aufbau
Ein magisches Sechseck ist eine sechseckige Zahlenanordnung, in der alle Reihen in den drei Richtungen dieselbe Summe haben. Diese gemeinsame Reihensumme heißt magische Zahl M. Gesucht wird besonders eine Anordnung aufeinanderfolgender ganzer Zahlen, vor allem der natürlichen Zahlen ab 1, ähnlich einem magischen Quadrat.
Ein Sechseck der Ordnung n, also der Seitenlänge n, enthält H = 3n² − 3n + 1 Zahlen. Das ist die n-te zentrierte Sechseckszahl. In jeder der drei Richtungen gibt es r = 2n − 1 Reihen. Für die Feldzahlen und M lässt sich ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Mit beliebigen ganzen Zahlen ist es immer lösbar, aber nicht eindeutig. Anordnungen, die nur durch Drehung oder Spiegelung ineinander übergehen, zählen als dieselbe Lösung.
Natürliche Zahlen von 1 bis H
Eine Anordnung der Zahlen von 1 bis H = 3n² − 3n + 1 gibt es nur für n = 1 und n = 3. Der Fall n = 1 ist trivial, weil das Sechseck nur ein Feld hat. Bei n = 3 hat es H = 19 Felder; jede Reihe hat die Summe M = 38. Dafür existiert genau eine Lösung, die seit Ende des 19. Jahrhunderts mehrfach gefunden wurde.
Der Ausschluss aller anderen Ordnungen folgt aus der Summe S aller Zahlen von 1 bis H. Mit H = 3n² − 3n + 1 = ¼(3r² + 1) gilt:
S = ½H(H + 1) = 1/32(9r⁴ + 18r² + 5).
Da S auf die r Reihen einer Richtung verteilt wird, muss gelten:
M = S/r = 1/32(9r³ + 18r + 5/r).
Also ist 32M = 9r³ + 18r + 5/r. Weil die linke Seite ganzzahlig ist, muss auch 5/r = 5/(2n − 1) ganzzahlig sein. Für n ≥ 1 ist das nur bei n = 1 oder n = 3 der Fall.
Beliebige aufeinanderfolgende ganze Zahlen
Erlaubt man statt der Zahlen ab 1 beliebige aufeinanderfolgende ganze Zahlen, gibt es für n ≥ 3 generell weitere Lösungen; die Angaben dieses Abschnitts sind im Artikel jedoch als nicht hinreichend belegt gekennzeichnet. Für M = 0 verwendet man den Bereich von −(3n² − 3n)/2 bis (3n² − 3n)/2. Mit einer Abweichung i lauten die Grenzen und die Reihensumme:
- kleinste Zahl: i(2n − 1) − (3n² − 3n)/2 = ir − (H − 1)/2
- größte Zahl: i(2n − 1) + (3n² − 3n)/2 = ir + (H − 1)/2
- Summe: i(3n² − 3n + 1) = iH
Eine Formel für das größte und kleinste i, für die eine Lösung existiert, ist nicht bekannt. Für n = 2 gibt es keine Lösung.
Für n = 3 entsprechen die Zahlen 1 bis 19 mit M = 38 dem Wert i = 2 und liefern 1 Lösung. Für −4 bis 14 mit M = 19 gibt es 36 Lösungen, für −9 bis 9 mit M = 0 gibt es 26 und für −14 bis 4 mit M = −19 ebenfalls 36. Für −19 bis −1 mit M = −38 gibt es 1 Lösung. Bei den 26 Lösungen mit Summe 0 lassen sich 14 durch vollständigen Vorzeichenwechsel paarweise zuordnen; bei den übrigen 12 entspricht der Vorzeichenwechsel einer Drehung um 180 Grad. Daher ergibt sich 12 + 7 · 2 = 26.
Anormale Sechsecke der Ordnungen 4 bis 8
Für Ordnungen größer als 3 gibt es keine normalen magischen Sechsecke, also keine mit einer bei 1 beginnenden Zahlenfolge. Es gibt aber anormale Beispiele, deren Zahlenfolge anders beginnt.
Arsen Zahray entdeckte ein Sechseck der Ordnung 4 mit den Zahlen 3 bis 39 und M = 111 sowie eines der Ordnung 5 mit den Zahlen 6 bis 66 und M = 244. Ein weiteres Beispiel der Ordnung 5 verwendet 15 bis 75 und hat M = 305. Manche Sechsecke der Ordnung 5 enthalten ein Sechseck der Ordnung 3; die beschriebenen Varianten enthalten dabei entweder die Zahlen 1 bis 19 mit Summe 38 oder die Zahlen −9 bis 9 mit Summe 0.
Louis Hoelbling erstellte am 11. Oktober 2004 ein Sechseck der Ordnung 6 mit den Zahlen 21 bis 111 und M = 546. Arsen Zahray fand am 22. März 2006 mithilfe von Simulated Annealing ein Sechseck der Ordnung 7 mit den Zahlen 2 bis 128 und M = 635. Louis K. Hoelbling erstellte am 5. Februar 2006 ein Sechseck der Ordnung 8 mit den Zahlen −84 bis 84 und M = 0.
Beispiele der Ordnungen 9 und 10
Klaus Meffert fand am 10. September 2024 mithilfe von Künstlicher Intelligenz ein Sechseck der Ordnung 9 mit den Zahlen −108 bis 108 und der magischen Konstante M = 0. Ein selbst erstelltes Python-Programm fand die Lösung; eine KI wurde als Code-Generator für kritische Codeteile eingesetzt. Die Rechenzeit betrug wenige Tage auf wenigen Low-Cost-KI-Servern, und der Python-Code wurde durch einen Just-In-Time-Compiler optimiert.
In der zugehörigen Abbildung steht eine dunklere Wabe für einen höheren Einfluss auf andere Waben. Das Zentralfeld mit dem Wert 4 beeinflusst 48 andere Waben, nämlich 3 · 16; 16 ist die Länge der drei Hauptdiagonalen ohne das Zentralfeld selbst, also 17 − 1. Verändert man den Wert einer Wabe, müssen die Werte der abhängigen Waben angepasst werden, damit M für alle Diagonalen und Reihen gleich bleibt.
Helge Keller fand am 2. März 2025 mit einem selbst geschriebenen Python-Programm ein Sechseck der Ordnung 10. Ausgangspunkt war ein von Al Zimmermann für einen Programmierwettbewerb entwickeltes Programm, bei dem fast perfekte Sechsecke mit den Zahlen 1 bis 3n² − 3n + 1 gesucht wurden. Neben der Ordnung 10 wurden weitere Sechsecke mindestens bis zur Ordnung 23 berechnet.
