Loschmidt-Konstante

Definition und Bedeutung

Die Loschmidt-Konstante n_0, manchmal auch N_\mathrm{L}, gibt an, wie viele Moleküle N eines idealen Gases sich unter Normbedingungen im Volumen V_0 befinden:

n_0=\frac{N}{V_0}

Normbedingungen bedeuten hier den Normdruck p_0=101\,325\,\mathrm{Pa} und die Normtemperatur T_0=273{,}15\,\mathrm{K}. Der exakte Wert beträgt im Internationalen Einheitensystem:

n_0=2{,}686\,780\,111\,\ldots\cdot10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}

Im CGS-System entspricht dies 2{,}686\,780\,111\,\ldots\cdot10^{19}\,\mathrm{cm}^{-3}. Die Konstante beschreibt somit eine Teilchenzahl pro Volumen und ist nach dem österreichischen Physiker und Chemiker Josef Loschmidt benannt.

Zusammenhänge und Berechnung

Über die Zustandsgleichung des idealen Gases ist die Loschmidt-Konstante mit der Boltzmann-Konstante k_\mathrm{B} verbunden:

n_0=\frac{p_0}{k_\mathrm{B}\,T_0}

Mit k_\mathrm{B}=1{,}380\,649\cdot10^{-23}\,\mathrm{J/K}, p_0=101\,325\,\mathrm{Pa} und T_0=273{,}15\,\mathrm{K} ergibt sich:

n_0=\frac{101\,325\,\mathrm{Pa}}{1{,}380\,649\cdot10^{-23}\,\mathrm{J/K}\cdot273{,}15\,\mathrm{K}}=2{,}686\,780\,111\,\ldots\cdot10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}

Seit der Revision des Internationalen Einheitensystems im Jahr 2019 besitzt die Boltzmann-Konstante einen festgelegten Wert. Daher ist auch der Wert der Loschmidt-Konstante exakt und hat keine Messunsicherheit. Zuvor musste sie experimentell bestimmt werden und war mit einem Messfehler behaftet.

Ein weiterer Zusammenhang besteht zur Avogadro-Konstante N_\mathrm{A}. Diese gibt die Teilchenzahl pro Mol an. Mit dem molaren Volumen V_{m0} eines idealen Gases unter Normbedingungen gilt:

n_0=\frac{N_\mathrm{A}}{V_{m0}}

Unter Verwendung der universellen Gaskonstante R lässt sich derselbe Zusammenhang so schreiben:

n_0=N_\mathrm{A}\cdot\frac{p_0}{R\,T_0}

Die Loschmidt-Konstante beschreibt also die Teilchenzahl pro Volumen, während die Avogadro-Konstante die Teilchenzahl pro Stoffmenge beschreibt.

Historische Einordnung und Bezeichnungen

Amedeo Avogadro formulierte 1811 das Avogadrosche Gesetz: Gleiche Volumina verschiedener idealer Gase enthalten die gleiche Zahl von Molekülen. Josef Loschmidt gelang es 1865 erstmals, diese Molekülzahl ihrer Größenordnung nach zu bestimmen. Ludwig Boltzmann bezeichnete später die aus Loschmidts Ergebnissen abgeleitete Zahl der Moleküle eines idealen Gases pro Volumen bei Normaldruck und Normaltemperatur als Loschmidt-Konstante.

Der Zahlenwert der mit einem Kubikzentimeter multiplizierten Konstante wird im CGS-System als Loschmidt’sche Zahl bezeichnet:

n_0=\{n_0\}_\mathrm{CGS}\,\frac{1}{\mathrm{cm}^3}

Jean-Baptiste Perrin schlug 1909 vor, statt der Teilchenzahl pro Volumen die Teilchenzahl pro Mol als Avogadro-Zahl anzugeben. Die Avogadro-Zahl \{N_\mathrm{A}\} ist der Zahlenwert der Avogadro-Konstante in der SI-Einheit \mathrm{mol}^{-1}:

N_\mathrm{A}=\{N_\mathrm{A}\}\frac{1}{\mathrm{mol}}

Im deutschsprachigen Raum wurden bis etwa zur Mitte des 20. Jahrhunderts auch die Bezeichnungen Loschmidt’sche Zahl oder Loschmidt-Zahl und das Formelzeichen L für die heutige Avogadro-Konstante verwendet. Heute dient die Avogadro-Konstante zur Umrechnung zwischen molekularen und molaren Größen. Die Loschmidt-Konstante ist seit der CODATA-Publikation von 1986 in den Empfehlungen für physikalische Konstanten enthalten.

Loschmidts Bestimmung der Molekülgröße

Loschmidts Arbeit von 1865 erschien 1866 unter dem Titel „Zur Grösse der Luftmoleküle“. Sie beruhte auf der kinetischen Gastheorie und auf Ergebnissen von Clausius, Maxwell und Oskar Emil Meyer. Loschmidt definierte darin zwar die Anzahl der Luftmoleküle pro Volumeneinheit, gab dafür aber keinen Zahlenwert an. Sein eigentliches Ziel war eine vorläufige Abschätzung des Moleküldurchmessers unter Normbedingungen, des sogenannten Loschmidt’schen Moleküldurchmessers s_0.

Loschmidt berechnete s_0 aus einem „Kondensationskoeffizienten“ und der damals bekannten mittleren freien Weglänge \lambda. Die mittlere freie Weglänge ist die durchschnittliche Strecke, die ein Molekül zwischen zwei Zusammenstößen zurücklegt. Aus s_0 und \lambda kann die Loschmidt-Konstante berechnet werden:

n_0=\frac{3}{4\pi\lambda s_0^2}

Aus den heute empfohlenen Werten der Loschmidt- beziehungsweise Avogadro-Konstante folgt s_0=0{,}361\,\mathrm{nm}. Loschmidt erhielt 1865 dagegen s_0=0{,}970\,\mathrm{nm}, also das 2,7-Fache des tatsächlichen Wertes. Er kennzeichnete sein Resultat ausdrücklich als ungefähre Annäherung und erklärte, es sei sicher nicht um das Zehnfache zu groß oder zu klein. Diese Einschätzung war zutreffend.

Für \lambda lagen ihm zwei Werte vor: Maxwell hatte 62\,\mathrm{nm} bestimmt, Oskar Emil Meyer dagegen 140\,\mathrm{nm}. Loschmidt verwendete Meyers neueren, deutlich größeren Wert, der sich später als ungenauer erwies. Heute gilt für ein ideales Gas unter Normbedingungen \lambda=68\,\mathrm{nm}. Hätte Loschmidt Maxwells Wert verwendet, wäre s_0=0{,}429\,\mathrm{nm} herausgekommen. Dieses Ergebnis hätte nur beim 1,28-Fachen des tatsächlichen Wertes gelegen.